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ポンスレの定理

2018.6.15/2011.12.21/2002.1.25

南海　 この「ポンスレの定理」は，私が1996〜7年頃いろいろ計算したものが基礎になっている．その計算などをもとに「ポンスレの定理」を青空学園に上げてからずいぶん時間が経った．その後，二回増訂している．円の場合を一般的に示したもの，それから一般の二次曲線で代数的に証明した部分である．これを書いたのは五，六年前ではないかと思う． 『幾何学の精神』を準備してきて，再びポンスレの定理を取りあげることになる．その準備のためにこの「ポンスレの定理」を読みかえしていると，一，二論証が不十分なところが見つかった．これをなおした．

こうして，入試問題からはじめて，その文字定数を一般的において解いてゆくと，必ずしも実数解とならない4次方程式が現れる．その正体を調べると，$n=3$のとき虚な共通接線が関係している．また除外点がないようにしようとすると，必然的に複素数体上の射影直線，射影平面が必要になる．こうして入試問題を解明しようとすると，複素射影平面が必然的に導入される．

ここでは特別な場合に閉形定理の必要十分条件を計算しているが，実は，必要十分条件を一般的な形で明示的に書くことができる．それを含め，『幾何学の精神』では，ここでの論を一般化し，古典的で射影幾何的なポンスレの定理の証明，線型代数にもとづく一般的証明，代数的証明，解析的証明を取りあげる．あるいは逆に楕円曲線の考察をふまえ，代数幾何的にポンスレの定理の意味を深めること，これらをおこなう予定である． (2011年12月)

• 三つの入試問題の分析
• 特別な場合に閉形定理を計算で示す
  • 放物線と円，$n=3$の場合
  • 円と円の場合
  • 中心の一致する楕円と円で$n=3$の場合
  • 中心の一致する楕円と円，$n=4$の場合
  
  
• 円の場合を一般的に考える
  • 根軸について
  • 円の場合の一般的証明
  
  
• 二次曲線の閉形定理
  • 複素数導入の必然性
    • $n=3$のとき
    • 放物線と円で$n=3$のとき
    • 楕円と円で$n=3$のとき
    • $n=4$のとき
    • 放物線と円で$n=4$のとき
    • 楕円と円で$n=4$のとき
  • 複素射影空間内での証明