次: 二次曲線の閉形定理 上: ポンスレの定理 前: 特別な場合に閉形定理を計算で示す

• 根軸について
• 円の場合の一般的証明

円の場合を一般的に考える

南海　 二つの二次曲線$C_0,\ C_1$と3以上の自然数$n$に関して，

$C_1$上のある点を頂点の一つとし， $C_0$に外接し$C_1$に内接する$n$角形が一つでも存在すれば， 任意の点についてそれを頂点の一つとする同様の$n$角形が存在する．

ことが成り立つ この一般化された問題に可能なかぎり近づいてみよう． まず円の場合である．この場合は根軸が必要だ．

根軸について

南海　 『数学対話』の「根軸について」で次の定理を証明した． 二つの二次式

$$\left\{ \begin{array}{ll} f(x,y)&=x^2+y^2-2ax-2by+c\\ g(x,y)&=x^2+y^2-2px-2qy+r \end{array} \right.$$

がある． $f(x,y)=0,\,g(x,y)=0$で円が定まるとし，その円を$C_f,\ C_g$とする． このとき$C_f,\ C_g$は同心円でないとする．

1. $xy$平面の点$\mathrm{P}$から$C_f$と$C_g$に接線を引きその接点をそれぞれ $\mathrm{T},\ \mathrm{S}$とする． $\overline{\mathrm{PT}}=\overline{\mathrm{PS}}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡は
   
   $$-2(a-p)x-2(b-q)y+c-r=0$$
   
   
   以下このようにして定まる軌跡を「$C_f$と$C_g$の根軸」と呼ぶ．
2. $-1$でない実数$k$に対して， $h_k(x,\ y)=f(x,\ y)+kg(x,\ y)$とおき, $h_k(x,\ y)=0$で円が定まるとき，これを$C_k$とする．二円$C_f,\ C_k$の根軸は， 二円$C_f,\ C_g$の根軸と一致する．
3. 逆に，平面上の$C_f,\ C_g$とは異なる円$C_0$と$C_f$との根軸が， 二円$C_f,\ C_g$の根軸と一致したとする．このとき円$C_0$の式はある実数$j,\ k$ によって $h(x,\ y)=jf(x,\ y)+kg(x,\ y)=0$と表される．

根軸とは二つの円が交わっているときは，二つの共有点を通る直線だが， この直線は，二つの円への接線の長さが等しい点の軌跡でもある． この観点からすると，二円が交わらなくても意味をもつ． ここで「二つの円への接線の長さが等しい」としたところを， 「二つの円への接線の長さの比が等しい」と変えるとどうなるか．

拓生　 記号は上と同じにします．点 $\mathrm{P}(X,\ Y)$から二円への接線の長さは， 先の定理の証明と同様に

$$\left\{ \begin{array}{ll} \overline{\mathrm{PT}}^2&=\o... ...-q)^2 \}-(p^2+q^2-r) \\ &=g(X,\ Y) \end{array} \right.$$

よって接線の長さの比が$k$であるとすれば

$$f(X,\ Y)=kg(X,\ Y)$$

となり，求める点の軌跡は

$$f(x,\ y)-kg(x,\ y)=0$$

あっ．これはまた根軸が同じになる円になる．

南海　そうなのだ．二つの円 $f(x,\ y)=0,\ g(x,\ y)=0$に対して

$$f(x,\ y)-kg(x,\ y)=0$$

は，$k=1$なら根軸だが，$k$が正の場合$k\ne 1$でもこのような意味がある． $k<0$のときの意味などを考えればおもしろいはずだが，今は次のことを確認しておこう．

補題 2   二つの円への接線の長さの比が一定である点の軌跡は， これら二円と根軸を共有する円になる．

これを用いると次の事実が示される．

補題 3   一つの直線$l$が， 二つの円$O_1,\ O_2$に， それぞれ $\mathrm{P}_1,\ \mathrm{Q}_1$と $\mathrm{P}_2,\ \mathrm{Q}_2$で交わっている． これらの交点におけるそれぞれの円の接線を $p_1,\ q_1\ :\ p_2,\ q_2$とする． このとき$p_1$と$p_2$，$p_1$と$q_2$，$q_1$と$p_2$，$q_1$と$q_2$の交点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は， 二つの円$O_1,\ O_2$と根軸を共有する同一円の周上にある．

証明 　$l$と$O_1,\ O_2$ の交点での接線が$l$となす角を $\alpha,\ \beta$とする． また図のように接線と円との交点を $\mathrm{P_1,\ Q_1\ :\ P_2,\ Q_2}$とする．

$\bigtriangleup \mathrm{AP_1P_2}$， $\bigtriangleup \mathrm{BP_1Q_2}$, $\bigtriangleup \mathrm{CQ_1P_2}$， $\bigtriangleup \mathrm{DQ_1Q_2}$ に正弦定理を用いると，

$$\dfrac{\mathrm{AP_1}}{\mathrm{AP_2}}=\dfrac{\sin \beta}{\si... ...rm{DQ_1}}{\mathrm{DQ_2}}=\dfrac{\sin \beta}{\sin(\pi-\alpha)}$$

つまり

$$\dfrac{\mathrm{AP_1}}{\mathrm{AP_2}}= \dfrac{\mathrm{BP_1}... ...{CQ_1}}{\mathrm{CP_2}}= \dfrac{\mathrm{DQ_1}}{\mathrm{DQ_2}}$$

したがって$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は二円への接線の長さの比が 等しいので，この二円と根軸を共有するある円の周上にある．□

円の場合の一般的証明

南海　 「ポンスレの閉形定理」に生かすために，この補題を次のようにいいかえよう．

円に内接する四辺形$\mathrm{ABCD}$の対辺 $\mathrm{AB},\ \mathrm{CD}$が一つの円に接するとき， その接点 $\mathrm{P}_1,\ \mathrm{Q_1}$を結ぶ直線が線分 $\mathrm{AC},\ \mathrm{BD}$と交わる点を $\mathrm{P}_2,\ \mathrm{Q_2}$とすれば，この点で $\mathrm{AC},\ \mathrm{BD}$に接する円が存在し， かつこの円は他の二円と根軸を共有する． $\mathrm{P}_2,\ \mathrm{Q_2}$から $\mathrm{AC},\ \mathrm{BD}$に垂線を引きその交点を中心にして， $\mathrm{P}_2$をとおる円を描けばそれは$\mathrm{Q_2}$も通り，題意をみたす．

これから次のポンスレの閉形定理が得られる．

定理 1 (ポンスレの定理)   与えられた円$O$に内接する$n$角形 $\mathrm{A_1A_2\cdots A_n}$がある．

辺 $\mathrm{A_1A_2},\ \cdots,\ \mathrm{A_{n-1}A_n}$はそれぞれ円$O$と根軸共有な 定円 $O_1,\ O_2,\ \cdots ,\ O_{n-1}$に接している． 他の$n$角形 $\mathrm{B_1B_2\cdots B_n}$も 辺 $\mathrm{B_1B_2},\ \cdots,\ \mathrm{B_{n-1}B_n}$がそれぞれ同じ定円 $O_1,\ O_2,\ \cdots ,\ O_{n-1}$に接している．

このとき残る辺 $\mathrm{A_nA_1}$と辺 $\mathrm{B_nB_1}$は円$O$と根軸共有な同一の 定円$O_n$に接している．

証明 　円$O$ に内接する四辺形 $\mathrm{A_1A_2B_1B_2}$において辺 $\mathrm{A_1A_2}$と 辺 $\mathrm{B_1B_2}$は同一の定円$O_1$に接するから， $\mathrm{A_1B_1}$, $\mathrm{A_2B_2}$も $O,\ O_1$と根軸を共有する一つの円$C$に接する． 同様に $\mathrm{A_2B_2}$, $\mathrm{A_3B_3}$も $O,\ O_2$と根軸を共有する一つの円$D$に接する． 円$D$は $\mathrm{A_2B_2}$に接し，しかも $O,\ O_2,\ O_3$と根軸を共有する． ゆえに$C=D$である．

こうして辺 $\mathrm{A_1B_1},\ \mathrm{A_2B_2},\ \cdots,\ \mathrm{A_nB_n}$は同じ円$C$に接する．

四辺形 $\mathrm{A_1B_1A_nB_n}$は円$O$に内接し，辺 $\mathrm{A_1B_1}$と辺 $\mathrm{A_nB_n}$ は円$O$と根軸を共有する円$C$と接する．ゆえに $\mathrm{A_1A_n}$と $\mathrm{B_1B_n}$ も円$O,\ C$と根軸を共有する一定の円に接する．□

この定理の特別な場合として

定理 2 (二円の場合の閉形定理)   一つの定円$C_1$に内接し，他の一つの定円$C_2$に外接する$n$角形 $\mathrm{A_1A_2\cdots A_n}$が一つ存在するとする． このとき$C_1$上の一点$\mathrm{P_1}$から$C_2$にひとつの接線をひき， その延長が再び$C_1$と交わる点を$\mathrm{P_2}$とする． $\mathrm{P_2}$から$C_2$に $\mathrm{P_1P_2}$とは異なる接線をひき，その延長が再び$C_1$と交わる点を$\mathrm{P_3}$とする． 以下同様に，順次 $\mathrm{P_4},\ \cdots,\ \mathrm{P_{n+1}}$を定めると， $\mathrm{P_{n+1}}=\mathrm{P_1}$となる．

証明

これは $O_1=O_2=\cdots =O_{n-1}=O_n=C_2$としてポンスレの定理を用い， $\mathrm{P_nP_1}$も $C_2$に接するので， $\mathrm{P_{n+1}}=\mathrm{P_1}$となりこれも$n$角形になる．□

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