次: 行列式の展開 上: 行列と行列式 前: 行列式がみたすべき条件

行列式の定義

南海　 そこで$n$次元のベクトル空間での行列式を定義しよう． そのためには次の定理が基本的だ．

定理 4
$n$次元のベクトル空間$V$と一組の基底

$$\mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_n$$

をとる． $n$個のベクトルの組

$$\mathrm{\bf u}_i,\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$$

に対し，次の性質をもつ実数

$$\Delta(\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_n)$$

がただひとつ定まる．

1. $\Delta(\mathrm{\bf u}_1,\ \cdots,\ k\mathrm{\bf u}_i,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u... ...lta(\mathrm{\bf u}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_i,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_n)$．
2. $\Delta(\mathrm{\bf u}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_i +\mathrm{\bf v}_i,\ \cdo... ...lta(\mathrm{\bf u}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf v}_i,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_n)$．
3. $\Delta(\mathrm{\bf u}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_i,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}... ...\ \mathrm{\bf u}_j,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_i,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_n)$．
4. $\Delta(\mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_n)=1$

耕一　 証明は難しいのですか．

南海　 いや．実際に構成してみせるのだ． ただそのために置換の考え方がいる． $n$個の数 $1,\ 2,\ \cdots,\ n$の集合

$$N=\{\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n\ \}$$

をとり$N$から$N$自身の上への一対一写像$\sigma$を置換という．

$$\sigma(k)=a_k\ ,\ k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$$

とすれば，この置換$\sigma$は

$$\sigma=\left( \begin{array}{ccccc} 1&2&3&\cdots&n\\ a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n \end{array}\right)$$

のように，置きかえ先を列記することで書きあらわすことができる． 2つの置換$\sigma$と$\tau$について，その積を写像の合成で定める．

$$\sigma\tau(k)=\sigma\{\tau(k)\}$$

要するに，順に置換を施していくということだ．

また $1,\ 2,\ \cdots,\ n$のうち$i$と$j$のみを入れ替え，他はそのままである置換を互換といい， $(i,\ j)$のように書きあらわす．つまり

$$\sigma(i)=j,\ \sigma(j)=i,\ \sigma(k)=k,\ (k \not =i,\ j)$$

となる置換$\sigma$を$(i,\ j)$と書くのである．

耕一　 $n=3$のときは，置換は結局 $a_1,\ a_2,\ a_3$の決め方だから$3!=6$個あるのですね．

南海　 置換を目で見るには次のようにしてみればよい．例えば $\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{array}\right)$は,次のようにひもで結べばよい．

耕一　 ひもは2回交わります．

南海　 そこでどのようなことが起こっているか．

耕一　 まず2と3が入れ替わり，次にその2と1が入れ替わります． 実際上から順にこの入れ替えを書くと

$$\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&3&2\\ 2&3&1 \end{array}\right)$$

です．

南海　 こうして置換 $\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{array}\right)$は2つの互換 $(2,\ 3),\ (1,\ 2)$の積になった．

$$\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{array}\right)=(1,\ 2)(2,\ 3)$$

ただし，ここでは右側から順に作用させる．

耕一　 でも 右のようなときもあります．これは

$$\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{array}\right)=(1,\ 2)(2,\ 3)(2,\ 3)(2,\ 3)$$

となるだけですが．

南海　 次の事実が成り立つ．

補題 1
$n$個の文字の置換は互換の積に分解される． 分解の仕方は一通りではないが，互換の個数が偶数個か奇数個かは， 各置換によって一定である．

証明

$$f=\prod_{1\le i<j<n}(x_i-x_j)$$とおく． $n$個の文字の置換$\sigma$によって， $x_1,\ \cdots,\ x_n$を置きかえると， 新しい$f^{\sigma}$ができるが， $\sigma$は$f$の符号のみをかえるので， $f^{\sigma}=\pm f$であり， その符号は$\sigma$によって確定する． 一方，置換が偶数個の互換の積に分解されるなら$f^{\sigma}=f$， 奇数個の互換の積に分解されるなら，$f^{\sigma}=-f$である． したがって，偶数奇数の別は分解の仕方によらない． □

偶数個の互換の積に分解される置換を偶置換， 奇数個の互換の積に分解される置換を奇置換という． 記号で

$$\mathrm{sign}(\sigma)=\left\{ \begin{array}{ll} 1&(\sigma 偶置換)\\ -1&(\sigma 奇置換) \end{array}\right.$$

と定める．つまり $f^{\sigma}=\mathrm{sign}(\sigma)f$である．

例 1.2.3   次の置換の偶奇は次のようになる．

1. $\left( \begin{array}{cccc} 1&2&3&4\\ 2&3&4&1 \end{array} \right)$ は $(3,4)(2,3)(1,2)$と分解され，奇置換．
2. $\left( \begin{array}{cccc} 1&2&3&4\\ 3&1&4&2 \end{array} \right)$ は $(1,2)(3,4)(2,3)$と分解され，奇置換．
3. $\left( \begin{array}{cccc} 1&2&3&4\\ 3&4&2&1 \end{array} \right)$ は $(2,3)(3,4)(1,3)$と分解され，奇置換．

南海　 定理4の証明をしておこう． ある程度添え字の置き方にも慣れてきたので和記号を用いていく．

定理 4 の証明

定理 4 に掲げた4つの性質をもつ$\Delta$が存在するとする．

$$\mathrm{\bf u}_i=\sum_ja_{ji}\mathrm{\bf e}_j,\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$$

とおく．

$$\begin{eqnarray*} &&\Delta(\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \math... ...hrm{\bf e}_j,\ \mathrm{\bf e}_k,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_n)\\ \end{eqnarray*}$$

同様に順次係数を用いて表すと

$$\Delta(\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \math... ...thrm{\bf e}_j,\ \mathrm{\bf e}_k,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_l)$$

ここで， $j,\ k,\ \cdots,\ l$は $1,\ 2,\ \cdots,\ n$のいずれかで，同じものは含まないので， ある置換$\sigma$によって

$$j=\sigma(1),\ k=\sigma(2),\ \cdots,\ l=\sigma(n)$$

とおける． また和がこのようなあらゆる置換にわたることも明らかである． つまり

$$\Delta(\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \math... ...thrm{\bf e}_{\sigma(1)},\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_{\sigma(n)})$$

ここでひとつ入れ替えるたびに$\pm$が入れ替わるので，

$$\Delta(\mathrm{\bf e}_{\sigma(1)},\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_... ...}(\sigma) \Delta(\mathrm{\bf e}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_n)$$

である．よって

$$\Delta(\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \math... ...igma(n)n} \Delta(\mathrm{\bf e}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_n)$$ (1.1)

$\Delta(\mathrm{\bf e}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_n)=1$より

$$\Delta(\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \math... ...igma} \mathrm{sign}(\sigma)a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n}$$

逆に

$$\mathrm{\bf u}_i=\sum_ja_{ji}\mathrm{\bf e}_j,\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$$

に対して，

$$\Delta(\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \math... ...igma} \mathrm{sign}(\sigma)a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n}$$

と定める． これが定理4に掲げた性質のうち，第1，第2が成り立つことは明らか． 第3は，いずれか2つを入れ替えると，ちょうど互換がひとつ増減することから，成立する．第4も明らかである． よって定理4が示された．□

さて行列 $A=\left( a_{ij} \right)$に対して，この基底に関して

$$\mathrm{\bf u}_i=\sum_ja_{ji}\mathrm{\bf e}_j,\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$$

とおいたときの $\Delta(\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_n)$ を，行列$A$の(この基底に関する)行列式といい，

$$\Delta(A),\ \quad \vert A\vert$$

などと記す． 次の事実が成り立つ．

(1)

行列式 $\Delta(\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_n)$で， $\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_n$ の中に同じものがあれば，行列式の値は0である． 入れ替えると符号が変わるのだから，同じものがあればそこを入れ替えることで， 値が0であることがわかる．

したがって $\mathrm{\bf u}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_i,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_n$ の $\mathrm{\bf u}_i$に， $\mathrm{\bf u}_i$以外のベクトルの1次結合を加えても， 行列式の値は変わらない． 実際

$$\begin{eqnarray*} &&\Delta(\mathrm{\bf u}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_i+ \sum_... ...f u}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_i,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_n) \end{eqnarray*}$$

である．

(2)

2つの行列$A,\ B$に関して，

$$\Delta(AB)=\Delta(A)\Delta(B)$$

が成り立つ． 一組の基底 $\mathrm{\bf e}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_n$をとり

$$\begin{eqnarray*} &&(\mathrm{\bf e}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_n)A =(\mathrm{... ...rm{\bf v}_n)B =(\mathrm{\bf w}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n) \end{eqnarray*}$$

とおく． $\Delta(A)\ne 0$なら $(\mathrm{\bf v}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf v}_n)$も基底なので 定理4の証明における等式(1.1)と同様に

$$\begin{eqnarray*} \Delta(BA)&=&\Delta(\mathrm{\bf w}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w... ...B)\Delta(A)\Delta(\mathrm{\bf e}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_n) \end{eqnarray*}$$

これから $\Delta(AB)=\Delta(A)\Delta(B)$がわかる．

$\Delta(A)=0,\ \Delta(B)\ne 0$なら，まず $(\mathrm{\bf v}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf v}_n)$ は1次従属．その関係式に

$$(\mathrm{\bf v}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf v}_n) =(\mathrm{\bf w}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n)B^{-1}$$

を代入して， $(\mathrm{\bf w}_1,\ \cdots,\ \mathrm{\bf w}_n)$も1次従属． よって$\Delta(AB)=0$．これから $\Delta(AB)=\Delta(A)\Delta(B)$．

$\Delta(A)=0,\ \Delta(B)= 0$のときも成立する．

耕一　 今は行列を縦ベクトルに分けて，行列式を定義しましたが，横ベクトルに分けてもいいのですか．

南海　 それは，$\sigma$の逆置換$\sigma^{-1}$，置換群的な考察が必要なのだ．

$$\begin{eqnarray*} &&\sum_{\sigma} \mathrm{sign}(\sigma)a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\... ...\sigma} \mathrm{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)} \end{eqnarray*}$$

第一の等号は並べ替えただけだ．第二の等号は$\sigma$が置換全体を動けば， $\sigma^{-1}$も置換全体を動くことから結論づけられる． 最後の式は横ベクトルで考えたものそのものだ．

耕一　 少し難しいです．

南海　 そうだろう．そこで具体的な場合に戻ろう． 2次行列の場合，この定義が$\Delta$そのものであることを確認してほしい． ただし， 基底は $\mathrm{\bf e}_1=\vecarray{1}{0},\ \mathrm{\bf e}_2=\vecarray{0}{1}$とする．

耕一　 $A=\matrix{a_{11}}{a_{12}}{a_{21}}{a_{22}}$とすると，

$$\begin{eqnarray*} \mathrm{\bf u}_1&=&a_{11}\mathrm{\bf e}_1+a_{21}\mathrm{\bf e}... ...\mathrm{\bf u}_2&=&a_{12}\mathrm{\bf e}_1+a_{22}\mathrm{\bf e}_2 \end{eqnarray*}$$

です． これでやってみます．

例 1.2.4  

1と2の置換は $\sigma=\left( \begin{array}{cc} 1&2\\ 1&2 \end{array}\right)$と $\tau=\left( \begin{array}{cc} 1&2\\ 2&1 \end{array}\right)$の2つです． $\mathrm{sign}(\sigma)=1,\ \mathrm{sign}(\tau)=-1$なので

$$\Delta(A)= \mathrm{sign}(\sigma)a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}... ...{sign}(\tau)a_{\tau(1)1}a_{\tau(2)2}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$$

となります．

南海　 3次の場合は？ ただし， 基底は $\mathrm{\bf e}_1= \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right) ,... ... \mathrm{\bf e}_3= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)$とする．

耕一　 同じように考えます．

例 1.2.5   $A= \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right)$とする．

1，2，3の置換は，$(1\ 2\ 3)$を並べ替えた結果で書くと

$$\begin{array}{ll} \sigma_0=(1\ 2\ 3)&\mathrm{sign}(\sigma_... ...\sigma_5=(3\ 2\ 1)=(13)&\mathrm{sign}(\sigma_5)=-1 \end{array}$$

の6個です．したがって

$$\begin{eqnarray*} \vert A\vert&=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{... ... \quad -a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13} \end{eqnarray*}$$

これは $\begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}$ で， 左上から右下方向にとるときは符号は正， 左下から右上方向にとるときは符号は負ということで，覚えやすい．

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