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ハミルトン・ケイレイの定理

南海　 ハミルトン・ケイレイの定理は高校数学Cにも載っている．

耕一　 $A=\matrix{a}{b}{c}{d}$のとき

$$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$$

です． この式は固有方程式そのものです．

南海　 いいところに気づいた．実は次の事実が成り立つ．

定理 6 (ハミルトン・ケイレイの定理)
$f$を線型写像とし，ある基底で$f$が行列$A$で表されたとする． $f$の固有多項式を$P_f(t)$とすると

$$P_f(A)=O$$

証明

$$P_f(t)=a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_0$$

とおく． また，行列$A-tE$の余因子行列を$B$とおく． $B$の各成分は$t$の$n-1$次以下の多項式である． $B$の各成分の$t$の$j$次の項の係数を成分とする行列を$B_j$とおくと

$$B=t^{n-1}B_{n-1}+t^{n-2}B_{n-2}+\cdots+B_0$$

と書ける． 行列$A-tE$の余因子行列が$B$なので，第3節の等式 (1.2) より

$$(A-tE)B=P_f(t)E$$

これから

$$\begin{eqnarray*} &&(A-tE)(t^{n-1}B_{n-1}+t^{n-2}B_{n-2}+\cdots+B_0)\\ &=&a_nt^nE+a_{n-1}t^{n-1}E+\cdots+a_0E \end{eqnarray*}$$

を得る．

$$\begin{eqnarray*} &&(A-tE)(t^{n-1}B_{n-1}+t^{n-2}B_{n-2}+\cdots+B_0)\\ &=&-t^nB_{n-1}+t^{n-1}(AB_{n-1}-B_{n-2})+\cdots+t(AB_1-B_0)+AB_0 \end{eqnarray*}$$

なので，

$$\begin{eqnarray*} &&-t^nB_{n-1}+t^{n-1}(AB_{n-1}-B_{n-2})+\cdots+t(AB_1-B_0)+AB_0\\ &=&a_nt^nE+a_{n-1}t^{n-1}E+\cdots+a_1tE+a_0E \end{eqnarray*}$$

これが任意の$t$で成立するので，$t$の各次数の行列の各成分が両辺一致する．つまり，$t$の各次数の行列が一致する．

$$\begin{eqnarray*} &&-B_{n-1}=a_nE\\ &&AB_{n-1}-B_{n-2}=a_{n-1}E\\ &&\cdots\\ &&AB_1-B_0=a_1E\\ &&AB_0=a_0E \end{eqnarray*}$$

第1式の両辺に$A^n$を，第2式の両辺に$A^{n-1}$を左から乗じ，以下同様にすると． 右辺は数と$E$の積なので $A^ja_jE=a_jA^j$等が成り立つ．よって

$$\begin{eqnarray*} &&-A^nB_{n-1}=a_nA^n\\ &&A^nB_{n-1}-A^{n-1}B_{n-2}=a_{n-1}A^{n-1}\\ &&\cdots\\ &&A^2B_1-AB_0=a_1A\\ &&AB_0=a_0E \end{eqnarray*}$$

これをすべて加えると

を得る．□

耕一　 2次行列のときに確認してみます． 前と同様に直交座標の$x$軸$y$軸方向の単位ベクトルを基底にして $f$が $A=\matrix{a}{b}{c}{d}$で表されるとします．

$$P_f(t)=\vert A-tE\vert=t^2-(a+d)t+(ad-bc)$$

です．ここで行列$A-tE$は

$$\matrix{a-t}{b}{c}{d-t}$$

なので，その因子行列は

$$\matrix{d-t}{-b}{-c}{a-t}=\matrix{d}{-b}{-c}{a}-tE$$

です． $B_0=\matrix{d}{-b}{-c}{a}$とします．

$$\begin{eqnarray*} (A-tE)(B_0-tE)&=& \matrix{a-t}{b}{c}{d-t}\matrix{d-t}{-b}{-c}{... ...{0}{0}{t^2-(a+d)t+(ad-bc)}\\ &=&\{t^2-(a+d)t+(ad-bc)\}E=P_f(t)E \end{eqnarray*}$$

そうか． 要するに $\{t^2-(a+d)t+(ad-bc)\}E$が $(A-tE)(B_0-tE)$と因数分解されるのですね． $t$に$A$を代入すると

$$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$$

です． 教科書では単なる計算として書かれていますが， この余因子を作る方法の方が納得できます．

南海　 一般の場合も積の順序の問題を明確にするため， いったん分けてから代入して加えたが， 因数分解できている行列の式に代入したことに変わりない．

演習 10       解答10

次の行列の最小多項式を求め， 各行列の8乗を計算せよ．

$$（１）\quad A=\left( \begin{array}{cc} 3&2\\ 2&1 \end{... ...{array}{ccc} 3&3&3\\ -1&1&3\\ 0&-1&-2 \end{array}\right)$$