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恒等式［01京府医大］

問題     

次の実数係数の三次式を $f(x)$ とする．

$$f(x)=x^3+px^2+qx+r$$

いま，二つの実数係数の整式 $g(x),\ h(x)$ が次を満たすものとする．

$$f(g(x))=f(h(x)) \quad ： \quad 恒等的に等しい$$

このとき次のいずれかが成り立つことを示せ．

1. $g(x),\ h(x)\quad ： \quad$恒等的に等しい．
2. 二つの整式 $g(x),\ h(x)$ はともに定数である．

方針

解1

$$f(g)-f(h)=(g-h)\{g^2+gh+h^2+p(g+h)+q\}$$

これがすべての $x$ で成立するので， $g-h=0$ か $g^2+gh+h^2+p(g+h)+q=0$かのいずれかは無数の $x$ で成立する． $g-h=0$が無数の $x$ で成立するとすれば， $g(x),\ h(x)$ が $x$ の整式なので$g(x),\ h(x)$は恒等的に等しい． 同様に $g^2+gh+h^2+p(g+h)+q=0$が無数の $x$ で成立し，したがって恒等的に成立するとする．

$g(x),\ h(x)$の次数が異なる場合，大きい方の次数を $m>0$ とすると $g^2+gh+h^2+p(g+h)+q$ は $2m$ 次の整式である．恒等的に0ではあり得ない．

$g(x),\ h(x)$の次数が等しい場合，それを $m$ 次として $g(x)=ax^m+\cdots$ ， $h(x)=bx^m+\cdots$ と置く．このとき

$$g^2+gh+h^2+p(g+h)+q=(a^2+ab+b^2)x^{2m}+\cdots)$$

となる． 実数 $a,\ b$ に対して $a^2+ab+b^2>0$ であるからもし $m\ge 1$ なら これが恒等的に0になることはない．

ゆえに$m=0$ で，$g(x),\ h(x)$はともに定数である．□

解2
$g(x)$ が定数でないとする． $g(x)$ は実数係数の整式なので，

$$\lim_{x \to \infty}\vert g(x)\vert=\infty$$

 

である． これが$\vert x\vert$ が十分大きいすべての $x$ で成立する． $g(x)$ は整式なので，恒等的に成立する．

次に $g(x)=c\ (定数)$ とする．

$$f(g(x))=f(c)=f(h(x))$$

したがって $h(x)$はすべての $x$ に対して $n$ 次方程式

$$f(c)=f(x)$$

の解にいずれかに一致しなければならない．実数解は有限個なので 少なくとの一つの解で，$h(x)$が一致するような $x$ が無数にあるものがある．

$h(x)$は整式なので，恒等的にこの解に等しい，つまり$h(x)$も定数である．□

吟味
解2のように考えると，$f(x)$は任意の実数係数の整式で成立することがわかる．大切なことなので，恒等式の定義を書いておこう．

整式の一致と恒等式の定義

$f(x),g(x)$ が $x$ についての整式であるとき，次の3つの命題は同値である． またこのとき，等式 $f(x)=g(x)$ は 恒等式 であるという． 2式の次数の小さくない方を$n$とする．

1. $f(x)$と$g(x)$ は同一の式である．つまり，次数が等しくかつ同じ次数の項の係数が等しい.
2. 任意の$x$の値に対して$f(x),g(x)$は同一の値をとる.
3. 等式$f(x)=g(x)$が異なる$n+1$個の$x$の値に対して成り立つ.

証明

1. $(\mathrm{i}) \Rightarrow (\mathrm{ii}) \, : \, 明白である．$
2. $(\mathrm{ii}) \Rightarrow (\mathrm{iii}) \, :\, 明白である．$
3. $(\mathrm{iii}) \Rightarrow (\mathrm{i}) \, : \, h(x)=f(x)-g(x)$ は $n$ 次以下の整式である． $a_i(1 \le i \le n+1)$ のあい異なる $a_i$ に対して， $h(a_i)=0$ であるから，因数定理より，
   
   $$h(x)=(x-a_1)(x-a_2) \cdots (x-a_{n+1})Q(x)$$
   
   
   と因数分解される． もし $Q(x) \ne 0$ なら，左辺の次数は $n$ 以下であり， 右辺の次数は $n+1$ 以上となる．よって矛盾が起こる． 従って $Q(x)=0$となり$h(x)$は式として0である． $f(x)$と$g(x)$ は同一の式である．

3つの条件は互いに他の2つの必要十分条件になっていることが示されているので， 題意が示された．□

 

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