次: 確率計算の方法 上: 直接計算か漸化式か 前: 回数と確率［08京大理系甲乙］

個数と確率［98年京大理系後期］

問題     

$xy$ 平面上に $2n$ 個の点 $\mathrm{A}_i(i,1)$， $\mathrm{B}_i(i,2)$ ($i=1$，2，$\cdots$，$n$) がある． 上下に隣り合う2点 $\mathrm{A}_i$，$\mathrm{B}_i$ を結ぶ線分を「縦辺」($i=1$，2，$\cdots$，$n$)， 左右に隣り合う2点 $\mathrm{A}_i$， $\mathrm{A}_{i+1}$ および $\mathrm{B}_i$， $\mathrm{B}_{i+1}$ を結ぶ線分を「横辺」($i=1$，2，$\cdots$，$n-1$) と言う． すべての横辺には，各辺独立に，確率 $p$ で右向きの矢印が， 確率 $1-p$ で $\times$ 印が描かれている． またすべての縦辺には常に上向きの矢印が描かれている．

このとき点 $\mathrm{A}_1(1,1)$ から出発して，矢印の描かれている辺だけを通り，矢印の方向に進んで， 点 $\mathrm{B}_n(n,2)$ に到達する経路が少なくとも1本存在する確率$Q_n$ を求めよ．

方針

1.

事象を排反な事象に場合分けして直接計算する．

2.

$n$のときと$n+1$のときの関係を調べ， 排反となる場合分けをして漸化式を立てる．

解1         辺 $\mathrm{B}_i\mathrm{B}_{i+1}$で最後の$\times$の位置で場合に分ける．ただし$\times$がない場合も考える．

1. 辺 $\mathrm{B}_i\mathrm{B}_{i+1}\ (i=1,\ \cdots,\ n-1)$に$\times$がない場合．辺 $\mathrm{A}_i\mathrm{A}_{i+1}\ (i=1,\ \cdots,\ n-1)$はいずれでもよい．この事象の確率は$p^n$である．
2. 最後の$\times$が横辺 $\mathrm{B}_k\mathrm{B}_{k+1}$にある場合．辺 $\mathrm{B}_i\mathrm{B}_{i+1}\ (i=1,\ \cdots,\ k-1)$はいずれでもよく，横辺 $\mathrm{A}_i\mathrm{A}_{i+1}\ (i=1,\ \cdots,\ k)$はすべて→でなければならない．この場合$\times$が1カ所，→が$n-1$カ所あり，その他はいずれでもよいので，この事象の確率は$(1-p)p^{n-1}$である．

   $k=1,\ \cdots,\ n-1$に対してそれぞれ排反であるから，この場合の確率は $(n-1)(1-p)p^{n-1}$である．

$$∴\quad Q_n=p^n+(n-1)(1-p)p^{n-1}=p^{n-1}\{n(1-p)+p\}$$

解2        

$Q_{n+1}$と$Q_n$の漸化式を求める．

$i=n+1$までの点が合計$2(n+1)$個あるとする． 点 $\mathrm{A}_1(1,1)$ から出発して点 $\mathrm{B}_{n+1}(n+1,2)$への経路が存在する場合を 2つに分ける．

1. 点$\mathrm{A}_n$を通るものが存在しない場合． 確率$Q_n-p^{n-1}$で点$\mathrm{A}_n$を通ることなく$\mathrm{B}_n$に至り， そこから確率$p$で $\mathrm{B}_{n+1}$にいく．よってこの事象の確率は
   
   $$(Q_n-p^{n-1})\times p$$
   
   

2. 点$\mathrm{A}_n$を通るものが存在する場合． 点$\mathrm{A}_n$に来る確率が$p^{n-1}$で， 横辺 $\mathrm{A}_n\mathrm{A}_{n+1}$か $\mathrm{B}_n\mathrm{B}_{n+1}$のいずれかが 矢線であればよく，その確率は $1-(1-p)^2=2p-p^2$である．よってこの事象の確率は
   
   $$p^{n-1}\times(2p-p^2)$$
   
   

これは排反であるから

$$Q_{n+1}=(Q_n-p^{n-1})\times p+p^{n-1}\times(2p-p^2) =pQ_n+(1-p)p^n$$

これから

$$\dfrac{Q_{n+1}}{p^{n+1}}= \dfrac{Q_n}{p^n}+\dfrac{1-p}{p}$$

$Q_1=1$であるから

よって

$$Q_n=p^{n-1}\{n(1-p)+p\}$$