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確率変数の加法性［91年京大文理系］

問題     

1 から $n$ までの相異なる $n$ 個の自然数（$n\ge 4$）の中から無作為に2 個を取り出し， 大きい方を $X_1$，小さい方を $Y_1$ とする． つぎに残りの $(n-2)$ 個の自然数の中から無作為に 2 個を取り出し， 大きい方を $X_2$，小さい方を $Y_2$ とする．

1. $X_1+Y_1$ の期待値を求めよ．
2. $X_1$ の期待値を求めよ．
3. $Y_2$ の期待値を求めよ．

方針

1.

小問1を，確率分布が等しい確率変数の期待値は等しいことを用いる．

2.

小問1を計算で導く．

1. $X_3=n+1-Y_1$, $Y_3=n+1-Y_1$とおく． $X_1,\ Y_1$の確率分布と $X_3,\ Y_3$の確率分布は等しいから
   $$\begin{eqnarray*} E(X_1+Y_1)&=&E(X_3+Y_3)\\ &=&E(n+1-Y_1+n+1-Y_1)\\ &=&2(n+1)-E(X_1+Y_1) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   $$∴\quad E(X_1+Y_1)=n+1$$
   
   

   別解

   $$\begin{eqnarray*} E(X_1+Y_1)&=&\sum_{i<j}\dfrac{1}{{}_n \mathrm{C}_2}(j+i)\\ ... ...-1)(j-2)}{3}\\ &=&\dfrac{3}{n(n-1)}\dfrac{(n+1)n(n-1)}{3}=n+1 \end{eqnarray*}$$
   
   

2. 　$X_1=j$となるのは他の一枚が1から$j-1$のいずれかのときである．
   $$\begin{eqnarray*} E(X_1)&=&\sum_{j=2}^n\dfrac{j-1}{{}_n\mathrm{C}_2}j\\ &=&\d... ...2}^n\dfrac{(j+1)j(j-1)-j(j-1)(j-2)}{3}\\ &=&\dfrac{2}{3}(n+1) \end{eqnarray*}$$
   
   

3. 2回目に$(i<j)$を引くのは， 1回目に$i$も$j$も引かず，2回目に残った$n-2$枚から$(i<j)$を引く場合であるから その確率は
   
   $$\dfrac{{}_{n-2} \mathrm{C}_2}{{}_n\mathrm{C}_2}\cdot\dfrac{1}{{}_{n-2} \mathrm{C}_2} =\dfrac{1}{{}_n \mathrm{C}_2}$$
   
   
   したがって$Y_2$の確率分布と$Y_1$の確率分布は一致する．
   $$\begin{eqnarray*} ∴\quad E(Y_2)&=&E(Y_1)\\ &=&E(X_1+Y_1)-E(X_1)=\dfrac{1}{3}(n+1) \end{eqnarray*}$$