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考え方

2.1       問題2.1    解答2.1

いくつかのものが等式によって等しいとされたとき， その等しいものを文字に置くのが基本である． その上で$x,\ y,\ z$のいずれかを消去し必要条件を求め，その後でその十分性を吟味しよう．

2.2       問題2.2    解答2.2

各桁に1からはじまる数が一つずつあることは，ほぼ見当がつく． 問題はそれをどのように論証するかだ．ここは文字を導入して， $2^k$が$l$桁で最高位の数字が1である，ことを式や不等式に表そう．

2.3       問題2.3    解答2.3

これは連立1次方程式が不定になる場合だ．つまり無数の解がある． これをすべて求める？　解の形は決まる．それを書き表すためには，何らかの文字が必要だ．この解の全体は空間の直線になる． (2)ではその直線が球と接することが問題になっている．

2.4       問題2.4    解答2.4

条件も方程式の係数も$s$と$t$に関して対称である． $s+t$と$st$で表せる．条件$s^2+t^2=1$が成り立っているので一方を消去できる． こうして係数が1文字になれば，その文字に範囲を定めて，係数が動く範囲にあるような$x$の範囲を求めればよい．

2.5       問題2.5    解答2.5

このような図形問題は，座標で解くか，ベクトルで解くか， あるいは他の方法で解くか．まずそれを考えなければならない． 方法を固定せず，見通しが立つまで少しやってみることだ． 条件の中に直角や$60^{\circ}$のような角があれば， 座標で考えることが容易である．

2.6       問題2.6    解答2.6

このような場合は座標に入れることが難しい． 具体的に数値の与えられた図形では， 数値から図形の性質を見抜くことが大切である． 対称性から外接球の中心がどこにあるかはわかる． 半径$r$に関する方程式を作る．これが基本方針である．

2.7       問題2.7    解答2.7

問題を数式に翻訳しなければならない． 点$\mathrm{P}(t)$は線分$\mathrm{AB}$上にあり， $\mathrm{AP}(t)=ut$である． 一般的な図形であるからベクトルで表すとして， 点$\mathrm{P}(t)$などをこれを等式に表現するためには，何が必要か．

2.8       問題2.8    解答2.8

先に$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のいずれを固定するか．$\mathrm{P}$が決まれば最小になる$\mathrm{Q}$の位置は決まることがわかる．その上で$l$上の点$\mathrm{P}$の位置を何らかの変数に置く． その変数で$\mathrm{PQ}$を表せばよい．

2.9       問題2.9    解答2.9

それぞれ変化するのだから関数を導入しよう． 問題文をよく読み，文章で書かれた内容を関数で表せばよい．

2.10       問題2.10    解答2.10

この問題は２つのことがカギである．

1. Aに表を置くか裏を置くか決めれば， すべて決まることに気づく．
2. 順に決めていって， 最後の対角線上の置き方は，それまでの置き方で決まっているが， ここにも偶数個あることをどのように示すか．

これらを考え，何らかの道具が必要である．