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結論からさかのぼる

まず次の例題をやってみよう．

例題 2.8       ［01日本女子大］

正の数 $a$ に対して $b=a^a$ とおくとき，次のことを示せ．

1. $1<a<2$ ならば $a^b<b^a$ である．
2. $a>2$ ならば $a^b>b^a$ である．

考え方     この問題をどのように考えただろうか． ノートに「 $1<a<2$より…」と書いて， それ以上に進めない人はいなかっただろうか． (1)(2)の前提は「正の数 $a$ に対して $b=a^a$」だ． この前提のもとに，(1)の論証の出発は確かに仮定「$1<a<2$」だ． だから「 $1<a<2$より…」と書いて次を考えようとするのは理由のないことではない． しかし，「 $1<a<2$より…」と書きはじめて，まっすぐに 結論「 $a^b<b^a$」に行き着くことは，簡単ではない．

山の頂上を結論とし，麓を最初の仮定としよう． 麓からいくつか道が分かれているが， 山の途中には雲がかかっていて， どの道を行けば頂上にたどり着けるかわからない， これが問題に直面したときの状況だ． ノートに「 $1<a<2$より…」と書いてそこで次にすすめなかった人は， このときに麓のどの道を行こうかわからず，あるいは道さえわからず，立ち止まってしまったようなものだ．

こんなときはどうすればよいのだろう． 山登りを例にあげたが，実は山登りと問題を解くことには，重大な違いがある． それは何か．山登りは麓から頂上へ向かって進むのだが， 問題を解くことは， 最初の仮定と最後の結論の間の道筋をつけることなのだ． だから道は，頂上から麓へ降りていって発見しても良い． この問題では結論$a^b<b^a$から逆にたどる．

そこでこの問題をもう一度よく見ると， 「正の数 $a$ に対して」と書かれているが， (1)は$1<a<2$ のとき，(2)は$2<a$ のとき， 結論の不等号が逆になっているので 結局， $1<a$ の前提のもとで，$a^b<b^a$か$a^b>b^a$かが $a$ が2より大きいか小さいかで決まることを示せ，といっている． これに注意して考えよう

解答     $1<a$のとき

$$\begin{eqnarray*} a^b<b^a &\iff& a^{a^a}<(a^a)^a\\ &\iff& a^{a^a}<a^{a^2}\\ &\... ... \quad (\ ∵ \quad 1<a\ )\\ &\iff& a<2 \quad (\ ∵ \quad 1<a\ ) \end{eqnarray*}$$

となり，(1)と(2)があわせて示された．□

例題 2.9       ［出典不明］

$0<x<1,\ 0<y<1,\ 0<z<1$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$$(1)\quad xy+1>x+y\quad (2)\quad xyz+2>x+y+z\quad (3)\quad xy^2z+3>x+2y+z$$

考え方     結論を同値変形しよう．

解答    
(1)     $0<x<1,\ 0<y<1$より$x-1<0,\ y-1<0$なので

$$xy+1-(x+y)=(x-1)(y-1)>0 \quad ∴\quad xy+1>x+y$$

(2)    $0<xy<1$なので(1)より

$$xyz+2=(xy)z+1+1>xy+z+1$$

    (1)より $xy+z+1>x+y+z$なので，題意が示された．
(3)     $0<xy<1,\ 0<yz<1$なので(1)より

$$xy^2z+3=(xy)(yz)+1+2>xy+1+yz+1=x+y+y+z$$

        よって題意が示された．