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数列の図示

さらにこの「関数」が，実数に対して定義された普通の関数のみならず， 定義域が自然数の関数のときにもグラフの考え方が有効なのだ． 定義域が自然数の関数？     それはつまり数列だ． 自然数 $n$ に対して定義された関数 $f(n)$ が高校数学の重要な内容の一つである. これは, $f(n)=a_n$ とおけば，数列と同じものであることによく注意すること. このような関数 $f(n)$ を解析する基本は

$$\Delta f(n)=f(n+1)-f(n)$$

を解析することである．これはつまり階差数列である．

階差を取る作用は $\Delta f(n)=\dfrac{f(n+1)-f(n)}{(n+1)-n}$ としてみればわかるように， 関数の導関数を考えることに対応している．実は「階差をとる」ことを「差分する」ともいうのだが，これは言うまでもなく「微分する」と対応する言葉の使い方だ． ついでながら階差数列からもとの数列を見出す

$$f(n)=f(1)+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\Delta f(k)$$

という操作は，関数 $f(x)$ では，原始関数を求める積分そのものだ．ついでに言えばこの操作を 「和分する」という．「積分する」に対応する言葉だ．

そこで次の問題を考えよう．

例題 2.13       ［00京大文系］

実数 $x_1,\ \cdots ,x_n\ (n \ge 3)$ が条件

$$x_{k-1}-2 x_k+x_{k+1}>0 \ (2 \le k \le n-1)$$

を満たすとし, $x_1, \cdots , x_n$ の最小値を $m$ とする．このとき， $x_l=m$ となる $l\ (1 \le l \le n)$ の個数は1または2であることを示せ．

考え方     最初に問題の条件を階差の関係

$$x_k-x_{k-1}<x_{k+1}-x_k\ (2 \le k \le n-1)$$

にできるかどうかだ．これは「数列を調べるのならまず階差を調べよ」ということが頭にあれば できる．「関数を調べるのならまず微分して導関数を調べよ」ということなのだ．

　その次にこの階差数列の不等式は何を意味しているかだ．

　階差が増加している．微分が増加している．二次導関数が正．下に凸なグラフ．と理系の人なら 連想が進むかも知れない． が，これは文系の問題だ．階差が増加しているようなグラフをかいてみよう． 階差が増加しているということは，数列が減少しているときは減少幅が小さくなり， 数列が増加しているときは増加幅が大きくなることだ．

これでわかる．実際下に凸な折れ線になる．形としては�@のようにはじめ減少で 途中から増加に転じる場合，途中の1カ所で$x_{k+1}-x_k=0$となればそこで最小になり 最小値をとる $x_k$ の個数は2個， $x_k-x_{k-1}<0<x_{k+1}-x_k$なら1個．�Aや �Bの形なら $x_1$ か $x_n$ の1個のみとなる．

解答     題意の条件は

$$x_{k+1}-x_k>x_k-x_{k-1} \ (2 \le k \le n-1)$$

と書ける．

1. $x_2-x_1>0$ なら
   
   $$x_k-x_{k-1}>0 \ (2 \le k \le n)$$
   
   
   となり 数列 $\{ x_n \}$ は単調増加． よって $x_1=m$ となり他に $m$ となるものはない．この場合は1個．
2. $0>x_n-x_{n-1}$ なら
   
   $$0>x_k-x_{k-1} \ (2 \le k \le n)$$
   
   
   となり 数列 $\{ x_n \}$ は単調減少． よって $x_n=m$ となり他に $m$ となるものはない．この場合は1個．
3. ある番号 $k_0$ があって
   
   $$x_{k_0+1}-x_{k_0}>0>x_{k_0}-x_{k_0-1}$$
   
   
   となるとき．

   $x_1,\cdots ,x_{k_0}$ は単調減少で， $x_{k_0},\cdots ,x_n$ は単調増加． よって $x_{k_0}=m$ となり他に $m$ となるものはない．この場合は1個．

4. ある番号 $k_0$ があって
   
   $$x_{k_0+1}-x_{k_0}=0$$
   
   
   となるとき．このときは
   
   $$x_{k_0+2}-x_{k_0+1}>x_{k_0+1}-x_{k_0}=0>x_{k_0}-x_{k_0-1}$$
   
   
   となる．同様の議論から $m=x_{k_0+1}=x_{k_0}$ となりこの他に $m$ となるものはない．この場合は2個．

以上．□