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存在の直接証明

存在することを示すいちばんの方法は，実際に作ってみせることだ． 構成できるものは存在する．これが第一の存在証明の原理である． これは直接証明である． 「幽霊が存在することを示せ」といわれたら， 幽霊をつれてくるのがいちばんだ． 笑ってはいけない．西洋では神の存在証明というのが長い間，問題であった．神はつれてくることができるのか，できないのか． できないとしたら， にもかかわらず存在することを示すことはできるのか．

数学の存在証明においてもこれは大切な問題だ． 例えば「必要条件でしぼる」の例題3．6の十分性の証明を見てほしい．存在に関わる部分だけを取り出すと，

    $n$ が奇数または4の倍数なら $x^2-y^2=n$ には整数解が存在する．

これを証明せよということになる．これは次のように作ってみせた．

$n=2k+1,\ 4k$ とおく．すると

$$(k+1)^2-k^2=2k+1=n,\ \quad (k+1)^2-(k-1)^2=4k=n$$

なのでそれぞれ， $(x,\ y)=(k+1,\ k),\ (k+1,\ k-1)$ という解がある！

ある条件の下で作ってみせることができれば，その条件が存在するための十分条件であることがわかる．構成すること，これが存在証明の基本である．これをまず銘記しよう．

例題 1.16       ［04千葉大後期］

直角をはさむ2辺の長さがともに整数の直角三角形を「整直角三角形」という． 二等辺三角形でない二つの整直角三角形を$T_1,\ T_2$とし， それぞれの斜辺の長さを$l_1,\ l_2$とする． このとき， これらの積$l_1l_2$を斜辺の長さにもつ整直角三角形が存在することを示せ．

考え方     これは直接作ってみせることで存在を示す． 問題文中の条件を適切に使っているかよく注意しよう．

解答     $l_1,\ l_2$が整直角三角形$T_1,\ T_2$の斜辺なので

$${l_1}^2=a^2+b^2,\ {l_2}^2=c^2+d^2$$

となる正の整数$a,\ b,\ c,\ d$が存在する． このとき

$$\begin{eqnarray*} (l_1l_2)^2&=&(a^2+b^2)(c^2+d^2)\\ &=&a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2... ...uad \cdots\maru{1}\\ &=&(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\quad \cdots\maru{2} \end{eqnarray*}$$

ここで$ad-bc=0$かつ$ac-bd=0$ならば，$ad=bc$と$ac=bd$の辺々をかけて

$$a^2cd=b^2cd$$

これから$a=b$となり，$T_1$が二等辺三角形でないことに反する． したがって$ad-bc$と$ac-bd$の少なくとも一方は0ではない．

よって�@または�Aの少なくとも一方は次のことを示している．

0でない二つの整数で，それらの平方の和が$l_1l_2$の平方に等しいものが存在する． つまり積$l_1l_2$を斜辺の長さにもつ整直角三角形が存在することが示された． □