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微分計算

整式関数

$f(x)$が定数関数なら $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$なので$f'(x)=0$． $f(x)$が整式のとき．$f(x)$は定数と$x^n$を定数倍したものの和なので， $x^n$の微分ができれば，$f(x)$の微分もできる．

$x^n$の微分

$n$を自然数とする． $x$の$n$乗である$x^n$を微分する方法は3つある．

方法1    

$$\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$$

となることを，次数$n$に関する数学的帰納法で示す． $n=1$のときは明らかに成立． $n=k$で成立とする． このとき

$$\dfrac{d}{dx}x^{k+1}=\dfrac{d}{dx}x\cdot x^k =x^k+x\cdot(kx^{k-1})=(k+1)x^k$$

なので$n=k+1$でも成立し，すべての$n$で成立する．

方法2     直接示す方法の一つは二項定理を用いる． 二項定理とは，$(x+y)^n$の展開式が 組合せの場合の数を表す記号 ${}_n\mathrm{C}_k$を用いて

$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_kx^{n-k}y^k= x^n+nx^{n-1}y+\dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}y^2+\cdots$$

と表されることをいう． これを用いて$x^n$を微分しよう．

$$\begin{eqnarray*} \dfrac{d}{dx}x^n&=&\lim_{h \to 0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}\\ &... ...\{nx^{n-1} +\dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots \right\}=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$$

方法3     もう一つは，因数分解

$$X^n-Y^n=(X-Y)(X^{n-1}+X^{n-2}Y+\cdots+XY^{n-2}+Y^{n-1})$$

を用いる方法である．この因数分解で$X=x+h$，$Y=x$とすると

$$\begin{eqnarray*} &&(x+h)^n-x^n\\ &=&(x+h-x)\left\{(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\... ...t\{(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\cdots+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right\} \end{eqnarray*}$$

なので

$$\begin{eqnarray*} \dfrac{d}{dx}x^n&=&\lim_{h \to 0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}\\ &... ...t\{(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\cdots+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right\} \end{eqnarray*}$$

ここで

$$\lim_{h \to 0}(x+h)^{n-1}= \lim_{h \to 0}(x+h)^{n-2}x=\cdots=x^{n-1}$$

なので，これから

$$\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$$

となる． □

有理数$\alpha$に対して$x^{\alpha}$の微分は指数関数と対数関数の微分からも求まる． が，直接求めることもできる．以下$m,\ n$は自然数とする．

$x^{-n}$の微分

商の微分から

$$\dfrac{d}{dx}x^{-n} =\left(\dfrac{1}{x^n} \right)' =\dfrac{-nx^{n-1}}{x^{2n}}=-nx^{-n-1}$$

$x^{\frac{1}{n}}$の微分

$y=x^{\frac{1}{n}}$は， 区間$[0,\ \infty)$で単調増加な関数$f(x)=x^n$の逆関数である． 逆関数の微分から

$$\dfrac{d}{dx}x^{\frac{1}{n}}=\dfrac{1}{f'(y)} =\dfrac{1}{n... ...dfrac{1}{n}x^{-\frac{n-1}{n}} =\dfrac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$$

$x^{\frac{m}{n}}$の微分

$x^{\frac{m}{n}}=\left(x^m \right)^{\frac{1}{n}}$なので 2つの関数$x^m$と $x^{\frac{1}{n}}$の合成関数である． 合成関数の微分から

$$\dfrac{d}{dx}x^{\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{n}\left(x^m \right)^{\frac{1}{n}-1}\cdot(mx^{m-1}) =\dfrac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}$$

三角関数

$$\dfrac{\cos(x+h)-\cos x}{h}= \dfrac{-2\sin\left(x+\dfrac{h... ...rac{h}{2}\right) \cdot\dfrac{\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}$$

なので

$$\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x$$

$\sin x=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x \right)$より

$$\dfrac{d}{dx}\sin x=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x \right) \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\pi}{2}-x \right)=\cos x$$

また

$$\dfrac{d}{dx}\tan x= \dfrac{d}{dx}\dfrac{\sin x}{\cos x}=\... ...}= \dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}= \dfrac{1}{\cos^2 x}$$

逆三角関数

逆三角関数の定義3.4にしたがってそれぞれの定義域に注意する．

$y=\arcsin x$とする．$x=\sin y$より $-\dfrac{\pi}{2}< y <\dfrac{\pi}{2}$範囲の$y$に対して $\cos y=\sqrt{1-x^2}$である．

$$\dfrac{d}{dx}\arcsin x=\dfrac{1}{(\sin y)'} =\dfrac{1}{\cos y} =\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

同様に $y=\arccos x\ (0<y< \pi)$とする．$x=\cos y$よりこの範囲の$y$に対して $\sin y=\sqrt{1-x^2}$である．

$$\dfrac{d}{dx}\arccos x=\dfrac{1}{(\cos y)'} =\dfrac{1}{-\sin y} =\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$y=\arctan x\ \left(\left\vert y \right\vert<\dfrac{\pi}{2}\right)$とする． $x=\tan y$よりこの範囲の$y$に対して $\cos^2 y=\dfrac{1}{1+x^2}$である．

$$\dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{(\tan y)'} =\cos^2 y=\dfrac{1}{1+x^2}$$

対数関数

1章2節の系33.1より

$$\lim_{ h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$$

なので

$$\dfrac{d}{dx}\log x= \lim_{h \to 0}\dfrac{\log(x+h)-\log x... ...\log\left(1+\dfrac{h}{x} \right)^{\frac{x}{h}} =\dfrac{1}{x}$$

である． また1でない正数$a$に対して

$$\dfrac{d}{dx}\log_a x= \dfrac{d}{dx}\dfrac{\log x}{\log a}= \dfrac{1}{x\log a}$$

指数関数

$$\dfrac{d}{dx}e^x=\lim_{h \to 0}\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h} =e^x\lim_{h \to 0}\dfrac{e^h-1}{h}$$

ここで$e^h-1=X$とおく．$h=\log(X+1)$である．

$$\dfrac{e^h-1}{h}=\dfrac{X}{\log(X+1)}=\dfrac{1}{\log(X+1)^{\frac{1}{X}}}$$

$h\to 0$のとき$X\to 0$なので

$$\lim_{h \to 0}\dfrac{e^h-1}{h}=\lim_{X \to 0}\dfrac{1}{\log(X+1)^{\frac{1}{X}}} =\dfrac{1}{\log e}=1$$

よって

$$\dfrac{d}{dx}e^x=e^x$$

また1でない正数$a$に対して $a^x=e^{x\log a}$であるから

$$\dfrac{d}{dx}a^x=(\log a)a^x$$

$x^r$の微分

ここで$r$は任意の実数，定義域は$x>0$とする． $y=x^r$とする． $\log y=r\log x$の両辺を$x$で微分する．

$$\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{r}{x}$$

これから

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{r}{x}\cdot y=rx^{r-1}$$

このように対数をとって微分する方法を対数微分という． 次: 関数解析 上: 微分の方法 前: 微分可能