確率の構造

高校確率の混乱

よく勉強している高校生から質問がでる．

教科書では「独立な試行の確率」の冒頭に，「1個のさいころを投げる試行と，1枚の硬貨を投げる試行において，互いにその結果に影響を及ぼさない．これらの試行は独立であるという」などと書かれている．ここでいう「独立」と，「事象の独立」での「独立」は同じことなのですか，違うのですか．

事象とは試行の結果ですから，「試行の独立」と「事象の独立」は同じことのはずではないのですか．ところが， $P(A \cap B)=P(A)P(B)$ という等式は，「独立試行」では，結果としてこれが成立すると書かれていますが，「事象の独立」ではこれがその定義になっています．結果なのですか，定義なのですか．

また，独立でない試行の例として，くじを1回目に引く試行をS，2回目に引く試行をTとしたうえで，「引いたくじをもとに戻さない場合」をあげています．

しかしこの場合，1回目に当たりを引くか外れを引くかで，2回目にくじを引く条件が異なります．2回目のTは「同じ状態のもとでくりかえすことができる」という条件に反するので，試行とは言えないのではないでしょうか．

このような疑問が寄せられた．これは当然である．

実際，「試行の独立」，あるいは「独立試行」という用語は，教育現場に混乱をもたらしている．

ある教科書は「同じ状態のもとでくりかえすことができる」ことを試行の条件として書く．そのうえで「2つの試行が互いに他方の結果に影響しないとき，これらの試行は独立である」と書く．また，この教科書は

2つの独立な試行，を行うとき，でが起こり，でが起こる事象をとすると，事象の確率は

$\begin{displaymath} P(C)=P(A)P(B) \end{displaymath}$

と書く．

一方，事象の独立は，積事象の確率が確率の積になることとして定義された．ところが，この記述では，何の論証もなしに，この等式が提示される．いったいこの等式は「2つの試行，が独立である」ことの定義なのか，あるいは結論として出てくるものなのか不明である．

ではどのように考えるべきなのか．

私は質問を寄せた高校生に次のように答えた．

試行とは，手順「戻して回引く」とか，「戻さずに回引く」などの規則にもとづく一連の行為全体を意味し，それによって定まる確率空間を基礎とする，というのが確率論の立場である．

回くじを引くとき，その結果は（◯××◯…）のような個の◯と×の順列の全体である．戻すときも戻さないときも，その確率は計算できる．そのなかで1回目当たりという事象は(◯△△…)（△はどちらでもよい）の形をした部分集合であり，その確率も計算できる．2回目当たりという事象は(△◯△…)の形をした部分集合，1，2回目当たりという事象は(◯◯△…)の形をした部分集合である．その確率も計算できる．

これが任意の回目と回目で計算でき，その事象が独立か否かが定まる．回目の事象と回目の事象が，各とで独立なとき，その試行を「独立試行」という．それぞれの回の確率的行為が独立という意味ではない．回くじを引くという試行の性質なのである．

実際，かつては教科書もそのようになっていた．手元にある1969年の実教出版の教科書では，「独立試行」の「独立」はこの手順の性質としてつけられた形容詞であって，1回1回の確率的行為が独立という意味ではない．

このように，独立試行という概念は，事象の独立のなかに含むことができ，またそうしてこそ，確率論の記述となる．

また，教科書では「独立な試行の確率」の冒頭に，「1個のさいころを投げる試行と，1枚の硬貨を投げる試行において，互いにその結果に影響を及ぼさない．これらの試行は独立であるという」などと書かれている．しかし，これもまた，事象の独立を経てはじめてその意味が明確になることなのである．

現在の高校数学の確率は，現実を分析する体系やその構造を教えるのではなく，ただ経験主義的に資料の整理を教えるのみである．

コルモゴロフの仕事の意義を押さえ、それを少しでも高校生や大学初年級に伝えよう，そうすることで，現実の現象を捉えるための数学的準備としての確率論を伝える．今日，大データの扱いがいろいろ言われる．しかし，確率論ぬきの大データの処理は，理屈抜きの単なる計算にすぎない．

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Aozora 2018-08-09