演習問題

練習問題 52 (解答52)

$a,\ b,\ c$ は実数で， $a>0,\ D=b^2-4ac<0$ ならば，

$\begin{displaymath} ax^2+bxy+cy^2 \le \dfrac{2\sqrt{-D}}{\pi} \end{displaymath}$

は $(0,\ 0)$ 以外の整数解をもつ．

関連入試問題

入試問題 42 (解答42) ［93早稲田］

(1)

$\alpha , \, \beta$ を互いに素な正の整数とする．

(i)

$\alpha x- \beta y=0$ の整数解をすべて求めよ．

(ii)

$\begin{displaymath} \dfrac{\alpha}{\beta} = a_1+\dfrac{1}{a_2 + \dfrac{1}{ ... ... \dfrac{1}{ a_4 }}} （ a_1,a_2,a_3,a_4 は正の整数） \end{displaymath}$

と書けるとする．

$\begin{displaymath} a_1+\dfrac{1}{a_2 + \dfrac{1}{ a_3 }} \end{displaymath}$

を通分して得られる分子

を

，分母

を

とするとき，

$\begin{displaymath} \alpha q -\beta p \end{displaymath}$

の値を求めよ．

(2)

の整数解をすべて求めよ．

入試問題 43 (解答43) ［04名古屋大理系後期］

自然数に対して，とを

$\begin{displaymath} (3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2} \end{displaymath}$

を満たす整数とする．このとき以下の問に答えよ．

$n\ge 2$ のとき，およびを $a_{n-1}$ と $b_{n-1}$ を用いて表せ．
${a_n}^2-2{b_n}^2$ を求めよ．
(2)を用いて， $\sqrt{2}$ を誤差 $\dfrac{1}{10000}$ 未満で近似する有理数を1つ求めよ．

入試問題 44 (解答44) ［00上智大後期理工］

を正の無理数とする. とおく. に対して, を超えない最大の整数をとおき，

$\begin{displaymath} a_0=k_0+ \dfrac{1}{a_1} \end{displaymath}$

によって

を決める. このようにして

まで決めたとき, この

に対して,

を超えない最大の整数を

とおき，

$\begin{displaymath} a_n=k_n+ \dfrac{1}{a_{n+1}} \end{displaymath}$

によって $a_{n+1}$ を決める.

また, 数列 $\{ P_n \}\ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ )$ , $\{ Q_n \}\ (\ n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ )$ を次の漸化式で定義する.

$\begin{eqnarray*} P_0=1,\ P_1=k_0,\ P_{n+1}&=&P_{n-1}+k_nP_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots... ... Q_0=0,\ Q_1=1,\ Q_{n+1}&=&Q_{n-1}+k_nQ_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots ) \end{eqnarray*}$

このとき次のことが成り立つことを示せ.

$P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n=(-1)^n\ (n=1,\ 2,\ \cdots )$
$n \ge 1$ のとき，との最大公約数はである.
$a=\dfrac{P_{n-1}+P_na_n}{Q_{n-1}+Q_na_n}\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$
$\left\vert a-\dfrac{P_n}{Q_n}\right\vert<\dfrac{1}{Q_n^2}\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$

入試問題 45 (解答45) ［71京大理系］

座標平面において， $x,\ y$ がともに整数であるような点 $(x,\ y)$ を格子点と呼ぶことにする．この平面上で

(1): 辺の長さが1で，辺が座標軸に平行な正方形(周をこめる)は少なくとも一つの格子点を含むことを証明せよ．
(2): 辺の長さが $\sqrt{2}$ の正方形(周をこめる)は，どんな位置にあっても，少なくとも一つの格子点を含むことを証明せよ．

入試問題 46 (解答46) ［新潟大過去問］

$a,\ b,\ c,\ d$ は自然数で， ${\rm A}(a,\ b)$ , ${\rm B}(a+c,\ b+d)$ , ${\rm C}(c,\ d)$ , ${\rm O}(0,\ 0)$ とする．これらを頂点とする平行四辺形 ${\rm OABC}$ の周を除いた内部をとするとき，

(1): のとき, の中には格子点はないことを示せ．
(2): のとき, の中に格子点があれば，それは平行四辺形の対角線の交点であることを示せ．

入試問題 47 (解答47) ［92東大］

平面において，座標，座標ともに整数であるような点を格子点と呼ぶ．格子点を頂点にもつ三角形 ${\rm ABC}$ を考える．

(1): 辺 ${\rm AB},\ {\rm AC}$ それぞれの上に両端をのぞいて奇数個の格子点があるとすると，辺 ${\rm BC}$ 上にも両端を除いて奇数個の格子点があることを示せ．
(2): 辺 ${\rm AB},\ {\rm AC}$ 上に両端をのぞいてちょうど3個ずつ格子点が存在するとすると，三角形 ${\rm ABC}$ の面積は8で割り切れる整数であることを示せ．

入試問題 48 (解答48) ［お茶の水女子大改題］

(1): 平面上で，3頂点の座標がすべて整数の組であるような三角形の面積の二倍は整数であることを示せ．
(2): 平面上で，3頂点の座標がすべて整数の組であるような正三角形は存在するか．
(3): 平面上で，5頂点の座標がすべて整数の組であるような正五角形は存在するか．

入試問題 49 (解答49)

(1): $\sqrt{3}$ は無理数であることを証明せよ．
(2): $\omega$ が無理数， $a,\ b$ が有理数でが0でないとき， $a\omega+b$ が無理数であることを証明せよ．
(3): 座標平面上に2点 $\mathrm{A}(p,\ q)$ ， $\mathrm{B}(r,\ s)$ をとり，原点を $\mathrm{O}$ とする． $\bigtriangleup \mathrm{OAB}$ が正三角形となるとき，のうち少なくとも1つは有理数とならないことを証明せよ．