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ディリクレの原理

ペル方程式 $x^2-Dy^2= \pm 1$ で解 $(\pm 1,\ 0)$を「自明な解」という． いつでも明らかに解になるからである．そこで以下でペル方程式に自明な解以外の 解が必ず存在することを証明する． 存在を保証するのは，ディリクレ(P.G.Dirichlet，1805-59)によって用いられた まことに巧妙な「鳩の巣原理」と呼ばれる原理である．

鳩の巣原理

補題 8

1. 自然数$n$と$k$に対し，$n$人の人を$k$個の部屋に入れることを考える． $n$を$k$で割った商を$q$，余りを$r$とおく．もし$r>0$ならば， 少なくとも1つ，$q$人より多くの人が入った部屋が存在する．
2. 整数 $a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n$ は， すべて $1 \le a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n \le n$ を満たし， さらにすべて異なる． このとき $a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n$は$1〜n$の値を一回ずつとる． ■

証明

1. もしどの部屋も$q$人以下なら，合計人数は$qk$人以下になり$n-qk=r>0$に反する． ゆえに$q$人より多くの人が入った部屋が存在する．
2. もし $a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n$ のなかに，$1〜n$ でとらない値があったとする． その値を除く数を記した箱を用意する．箱の数は $n-1$ 個以下になる． 数 $a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n$をその値にしたがってこれらの箱に入れる．鳩の巣原理によって 同じ箱に入るものが少なくとの一組できる．これは $a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n$の値が すべて異なることに矛盾する． ゆえに $a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n$は$1〜n$の値を一回ずつとる． □

この明快な原理によって次のディリクレによる定理が示され， これをもとにペル方程式の解の存在が示される． 次の定理はすでに無理数の連分数展開を用いて 系54.1で示されているのであるが， 次のように直接に示すことができる．

定理 58
$\omega$ を与えられた無理数とする．このとき

$$\vert x-\omega y\vert < \dfrac{1}{y}$$

となる整数 $x,\ y$ が 無数に 存在する． ■

証明    

1. 任意の自然数 $n$ に対して，
   
   $$0<y\le n, \,\, \vert x-\omega y\vert<\dfrac{1}{n}$$
   
   
   となる整数$(x,\ y)$ が少なくとも一組存在すること示す．

   実数 $a<b$ に対して $a$ を含み $b$ を含まない区間を $[a,b)$ と表す． 区間 $[0,1)$ を次のように $n$ 等分する．
   

   $$\left[0,\dfrac{1}{n}\right),\,\,\left[\dfrac{1}{n},\dfrac{2}{n}\right), \cdots ,\left[\dfrac{n-1}{n},1\right)$$
   
   
   $ p $ に $ 0,1, \cdots , n $ の各値を与え，その $ p $ に対して， $ \omega p $ を超えない最大の整数を $ q $ とする． \[ 0 \leqq \omega p-q < 1 \] である．これらは全部で $ n+1 $ 個あるので， 鳩の巣原理によって上の $ n $ 個のうち少なくとも一つの区間には， 二つ以上の $ \omega p-q $ が属する． $ \omega p_1-q_1 $ ， $ \omega p_2 -q_2 $ ， $ p_1\ne p_2 $ に対応する2つが同じ区間に属するとする．つまり \[ |(\omega p_1-q_1)-(\omega p_2-q_2)| < \dfrac{1}{n} \] $ p_1 >p_2 $ とし， $ x=q_1-q_2,\ y=p_1-p_2 $ とおく． この $ (x,\ y) $ に対して \[ |\omega y-x| < \dfrac{1}{n} \] である．
2. 各自然数 $n$ に対して $0<y\le n$で $\vert\omega y-x\vert < \dfrac{1}{n}$ となる $(x,\ y)$ が 存在した． $n$ を動かすとき， これらの $(x,\ y)$のなかに相異なるものが無数にあることを示す．

   もし有限個しかなかったとする． そのなかで $\vert\omega y-x\vert$ の値が最小のもの を $\vert\omega y_0-x_0\vert$ とする．それに対して，
   

   $$\dfrac{1}{n}<\vert\omega y_0-x_0\vert$$
   
   
   となる $n$ をとる． この $n$ に対して再び， $\vert\omega y-x\vert < \dfrac{1}{n}$ と なるように$(x,\ y)$を選ぶことができる．ところが
   
   $$\vert\omega y-x\vert<\dfrac{1}{n}<\vert\omega y_0-x_0\vert$$
   
   
   なので， $(x_0,y_0)$ の最小性と矛盾した．

   よって相異なるものは無数にある． $\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{y}$なので
   

   $$\vert\omega y-x\vert < \dfrac{1}{y}$$
   
   
   となる$(x,\ y)$が無数にあることが示された．□

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