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演習問題

練習問題 53(解答53)  

練習問題 54 (解答54)  

$\omega_1=4+\sqrt{13}$ について循環がはじまるまで展開せよ．

練習問題 55 (解答55)  

$x^2-19y^2= \pm 1$ の解を構成せよ．

練習問題 56 (解答56)  

$x^2-46y^2= \pm 1$ の解を構成せよ．

関連入試問題

入試問題追加　解答　　　　［67京大文理］



入試問題 50 (解答50)        ［98お茶の水女子大後期］

(1)

等式 $(x^2-ny^2)(z^2-nt^2)=(xz+nyt)^2-n(xt+yz)^2$ を示せ．

(2)

$x^2-2y^2=-1$ の自然数解 $(x,\ y)$ が無限組あることを示し， $x>100$ となる解を一組求めよ．

入試問題 51 (解答51)        ［01滋賀医大］

$xy$ 平面上の2曲線 $C_+$ と $C_-$ を次の式で定義する．

$$C_+:x^2-2y^2=1\ (x>0,\ y>0)，\quad C_-:x^2-2y^2=-1\ (x>0,\ y>0)$$

また，点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ に対して点 $\mathrm{Q}(u,\ v)$ を次式で定める．

$$u=-x+2y,\ v=x-y$$

点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ は $x,\ y$ がともに整数であるとき整数点という．

(1)

$\mathrm{P}(x,\ y)$ が曲線 $C_+$ 上の整数点ならば $\mathrm{Q}(u,\ v)$ は曲線 $C_-$ 上の整数点であり， $\mathrm{P}(x,\ y)$ が曲線 $C_-$ 上の整数点ならば $x=y=1$の場合を除いて， $\mathrm{Q}(u,\ v)$は曲線$C_+$上の整数点であることを示せ．

(2)

$\mathrm{P}(x,\ y)$ が$C_+$ または $C_-$の整数点で$y\ne 1$ならば $0<v<y$ であることを示せ．

(3)

$(\sqrt{2}+1)^n=x_n+y_n\sqrt{2}\ (x_n,\ y_n は整数，n は自然数)$ と表す．点 $\mathrm{P}(x_n,\ y_n)$ は曲線 $C_+$ または $C_-$上にあることを示せ．

(4)

曲線 $C_+$または$C_-$上の整数点は $\mathrm{P}(x_n,\ y_n)\ (n\ は自然数)$ に限ることを示せ．

(5)

$$\lim_{n \to \infty}\dfrac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}$$ を求めよ．