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空間内の平面(その一)

空間に同一直線上にない三点， $\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ a_3)$， $\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ b_3)$， $\mathrm{C}(c_1,\ c_2,\ c_3)$ がある．点 $\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$がこの三点で定まる平面上にあるための必要十分条件を $x,\ y,\ z$ の関係式で書けば,それが求める平面の方程式です．

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}} =s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$

とおくと，点 $\mathrm{P}$ がこの平面上にあるための条件は

$$s+t+u=1$$

です． 条件を成分で書くと

$$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right)&=&s\le... ...y}\right)\left( \begin{array}{c} s\\ t\\ u \end{array}\right) \end{eqnarray*}$$

これから

$$\left( \begin{array}{c} s\\ t\\ u \end{array}\right) =\le... ...)^{-1} \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right)$$

によって， $s,\ t,\ u$ を $x,\ y,\ z$ で表し， $s+t+u=1$ に代入すれば， 平面の方程式が得られる．

でも $3\times 3$ 行列の逆行列は求まりません．

南海　 それはそうだが， $s,\ t,\ u$ を未知数とする三元連立方程式を解けば，逆行列もできる． ただここで逆行列を求めて公式を作るより，このような方法を理解しておくことが大切なので， 練習問題を出そう．

演習 15       解答15

次の三点で定まる平面の方程式を求めよ．ただしいずれの文字定数も0でないとする．

1. $\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 2)$， $\mathrm{B}(1,\ 2,\ -1)$， $\mathrm{C}(2,\ -1,\ 1)$
2. $\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$， $\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$， $\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$
3. $\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$， $\mathrm{B}(b_1,\ 0,\ b_3)$， $\mathrm{C}(0,\ c_2,\ c_3)$