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空間内の平面(その二)

南海　 定点 $\mathrm{P}_0(x_0,\ y_0,\ z_0)$ をとおり， ベクトル $\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$ に直交する平面 $\alpha$ の方程式を求めよ．

史織　 平面上の任意の点 $\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$ をとる．

二つのベクトル $\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$ と $\overrightarrow{\mathrm{P}_0\mathrm{P}}$ が直交するので内積が0． $\overrightarrow{\mathrm{P}_0\mathrm{P}}=(x-x_0,\ y-y_0,\ z-z_0)$ なので

$$\alpha\ :\ p(x-x_0)+q(y-y_0)+r(z-z_0)=0$$

です．

このベクトル $\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$ のことを 平面 $\alpha$ の法線ベクトルという．

南海　 逆に一次式 $px+qy+rz+s=0$ を満たす点 $(x,\ y,\ z)$ はどんな図形になるかも同様にわかる．

つまりこの式を満たす任意の $(x_0,\ y_0,\ z_0)$ をとる．

$$\begin{array}{l} px+qy+rz+s=0\\ px_0+qy_0+rz_0+s=0 \end{array}$$

より

$$p(x-x_0)+q(y-y_0)+r(z-z_0)=0$$

つまり二つのベクトル $(p,\ q,\ r)$ と $(x-x_0,\ y-y_0,\ z-z_0)$ が直交している． したがって求める図形は点 $(x_0,\ y_0,\ z_0)$ をとおり$(p,\ q,\ r)$ と直交する 平面になる．