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空間内の直線

史織　 では空間内の直線はどのように表されるのでしょうか．

南海　 空間における直線は二つの平行でない平面の交わりによって定まる．だから 方程式としては，二つの一次式の連立で表される．

例えば

$$\left\{ \begin{array}{l} x+y+2z+1=0\\ 2x-y+z-1=0 \end{array}\right. \quad \cdots\maru{4}$$

なども二平面の交わりとして何らかの直線を表す．しかしそれがどのような直線かは このままではわからない．

史織　 点$\mathrm{P}_0$をとおりベクトル $\overrightarrow{u}=(l,\ m,\ n)$ に平行な直線は 動点を $\mathrm{P}$ とすれば

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t\overrightarrow{u}$$

と表されます．

南海　 それを座標で書くとどうなるか．

史織　

$$\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right)=\lef... ...ight)+t\left( \begin{array}{c} l\\ m\\ n \end{array}\right)$$

です．そうすると

$$x-x_0=tl,\ y-y_0=tm,\ z-z_0=tn$$

ですから $t$ を消去すると

$$\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n} \quad \cdots\maru{5}$$

ですか．確かに等号が二つある．

南海　 この考え方でいくと$\maru{4}$はどんな直線なのか．

史織　 二式を加えると．これから ．これを $\maru{5}$ の形に書くと

するとこれは定点 をとおりベクトル に平行な 直線なんだ．ベクトルを用いて書けば

ということです．

南海　 練習問題を出しておこう．

演習 16       解答16

次の直線はどのようなベクトルに平行か．

1. $6x-2y+2z-7=0,\ 12x-y-2z+1=0$
2. $x=2y+3,\ z=1$