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関連入試問題

なお， $n=2,\ 3,\ 4$ のときのチェビシェフの多項式は入試問題でよく出題される． ここで3題紹介しよう．

演習 4       ［95熊本大前期理系］解答4

関数

$$f(x)=x^4-x^2+\dfrac{1}{8}$$

について，$-1\le x\le 1$における$\vert f(x)\vert$の最大値を$M$とする．また$g(x)$を $-1\le x\le 1$で連続な関数とする．

1. $M$とそれを与える$x$の値を求めよ．
2. $-1\le x\le 1$において$\vert g(x)\vert<M$が成り立つとき，方程式$f(x)=g(x)$は $-1 < x < 1$の範囲に少なくとも4つの解をもつことを示せ．
3. 
   
   $$g(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\ (a,b,c,d は実数の定数)$$
   
   
   とすると，$-1\le x\le 1$における$\vert g(x)\vert$の最大値は$M$以上であることを示せ．
4. $\vert g(x)\vert$の最大値が$M$となるものは，$f(x)$以外にないことを示せ．

演習 5       ［90東大前期理系］解答5

三次関数 $h(x)=px^3+ qx^2+rx+s$ は次の条件(i)，(ii)をみたすものとする．

1. $h(1)=1,\ h(-1)=-1$，
2. 区間 $-1 < x < 1$ で極大値$1$，極小値 $-1$ をとる．

このとき

1. $h(x)$を求めよ．
2. 三次関数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が区間 $-1 < x < 1$ で $-1<f(x)<1$ を みたすとき， $\vert x\vert>1$ なる任意の実数 $x$ に対して不等式
   
   $$\vert f(x)\vert<\vert h(x)\vert$$
   
   
   が成立することを証明せよ．

演習 6       ［97京大後期理系］解答6

次の連立方程式$(*)$を考える．

$$(*)\left\{\begin{array}{l} y=2x^2-1\\ z=2y^2-1\\ x=2z^2-1\\ \end{array}\right.$$

1. $(x,\ y,\ z)=(a,\ b,\ c)$が$(*)$の実数解であるとき， $\vert a\vert\le 1,\,\vert b\vert\le 1,\,\vert c\vert\le 1$であることを示せ．
2. $(*)$は全部で8組の相異なる実数解をもつことを示せ．

演習 7       ［2017お茶の水後期］ 問題