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関連入試問題

なお, $n=2,\ 3,\ 4$ のときのチェビシェフの多項式は入試問題でよく出題される. ここで3題紹介しよう.

演習 4       [95熊本大前期理系]解答4

関数

\begin{displaymath}
f(x)=x^4-x^2+\dfrac{1}{8}
\end{displaymath}

について,$-1\le x\le 1$における$\vert f(x)\vert$の最大値を$M$とする.また$g(x)$$-1\le x\le 1$で連続な関数とする.
  1. $M$とそれを与える$x$の値を求めよ.
  2. $-1\le x\le 1$において$\vert g(x)\vert<M$が成り立つとき,方程式$f(x)=g(x)$$-1 < x < 1$の範囲に少なくとも4つの解をもつことを示せ.

  3. \begin{displaymath}
g(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\ (a,b,c,d は実数の定数)
\end{displaymath}

    とすると,$-1\le x\le 1$における$\vert g(x)\vert$の最大値は$M$以上であることを示せ.
  4. $\vert g(x)\vert$の最大値が$M$となるものは,$f(x)$以外にないことを示せ.

演習 5       [90東大前期理系]解答5

三次関数 $h(x)=px^3+ qx^2+rx+s$ は次の条件(i),(ii)をみたすものとする.

  1. $h(1)=1,\ h(-1)=-1$
  2. 区間 $-1 < x < 1$ で極大値$1$,極小値 $-1$ をとる.
このとき
  1. $h(x)$を求めよ.
  2. 三次関数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が区間 $-1 < x < 1$$-1<f(x)<1$ を みたすとき, $\vert x\vert>1$ なる任意の実数 $x$ に対して不等式

    \begin{displaymath}
\vert f(x)\vert<\vert h(x)\vert
\end{displaymath}

    が成立することを証明せよ.

演習 6       [97京大後期理系]解答6

次の連立方程式$(*)$を考える.

\begin{displaymath}
(*)\left\{\begin{array}{l}
y=2x^2-1\\
z=2y^2-1\\
x=2z^2-1\\
\end{array}\right.
\end{displaymath}

  1. $(x,\ y,\ z)=(a,\ b,\ c)$$(*)$の実数解であるとき, $\vert a\vert\le 1,\,\vert b\vert\le 1,\,\vert c\vert\le 1$であることを示せ.
  2. $(*)$は全部で8組の相異なる実数解をもつことを示せ.



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