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等面四面体への応用

南海　 以下に述べることは， 故栗田稔先生の『初等数学15講』(1990年3月，自費出版)に教えられたことである．

補題 2        $[\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}]> 0$とする．また

$$\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}=\overrightarrow{... ...overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\overrightarrow{z}$$

とおく．このとき

$$[\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ \overrightarrow{z}... ...verrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}]^2$$

であり．

$$\overrightarrow{a} =\dfrac{1}{\sqrt{[\overrightarrow{x},\ ... ...rrightarrow{z}]}} \overrightarrow{x}\times\overrightarrow{y}$$

が成り立つ． ■

証明      補題(1)より

$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{y}\times\overrightarrow{z}&=& \overrightarro... ...a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}]\overrightarrow{a} \end{eqnarray*}$$

したがって

$$\overrightarrow{a} =\dfrac{1}{[\overrightarrow{a},\ \overr... ...errightarrow{c}]} \overrightarrow{y}\times\overrightarrow{z}$$

同様に

$$\overrightarrow{b} =\dfrac{1}{[\overrightarrow{a},\ \overr... ...errightarrow{c}]} \overrightarrow{x}\times\overrightarrow{y}$$

ところが

$$\begin{eqnarray*} \vert\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ \overrightarro... ...\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}]^2 \end{eqnarray*}$$

$[\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}]> 0$なので

$$\overrightarrow{a} =\dfrac{1}{\sqrt{[\overrightarrow{x},\ ... ...rrightarrow{z}]}} \overrightarrow{x}\times\overrightarrow{y}$$

が成立する．□

この補題を用いると，空間図形のいろんな性質が簡明に示される． いくつか例示する．

命題 2        4つの面の面積が等しい四面体(等積四面体)は， 各面が合同な四面体(等面四面体)である． ■

南海　 これは『数学対話』−「等積四面体と等面四面体」で証明したことである． その別証明を外積を用いておこなう．

証明

四面体$\mathrm{OABC}$で

$$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overri... ...thrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$

とし，

$$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{... ...\overrightarrow{z}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$$

とおく． さらに

$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{u}&=&\overrightarrow{\mathrm{AC}}\times\overr... ...errightarrow{a}) \times(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \end{eqnarray*}$$

とする．

このとき

$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{u}&=& (\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}... ... &=&-\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}-\overrightarrow{z} \end{eqnarray*}$$

つまり

$$\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}+\overrightarrow{u}=0$$

である．

注意 1.1        これは一般の四面体で成立する．

  四面体$\mathrm{OABC}$の4つの面の面積が

$$\dfrac{1}{2}\vert\overrightarrow{x}\vert,\ \dfrac{1}{2}\v... ...ghtarrow{z}\vert,\ \dfrac{1}{2}\vert\overrightarrow{u}\vert$$

であるから，等積四面体では

$$\vert\overrightarrow{x}\vert= \vert\overrightarrow{y}\vert= \vert\overrightarrow{z}\vert= \vert\overrightarrow{u}\vert$$

が成り立つ．任意の点$\mathrm{K}$に対し

$$\overrightarrow{\mathrm{KL}}=\overrightarrow{x},\ \overri... ...tarrow{y},\ \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{z}$$

で点 $\mathrm{L},\ \mathrm{M},\ \mathrm{N}$を定めると， $\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}+\overrightarrow{u}=0$ より

$$\overrightarrow{\mathrm{NK}}=\overrightarrow{u}$$

となる．

この四面体は4辺の長さが等しく正四面体である． したがって4つの面の面積も等しい． つまり

$$\vert\overrightarrow{x}\times\overrightarrow{y}\vert= \ver... ...}\vert= \vert\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{x}\vert$$

ここで補題(2)より

$$\overrightarrow{y}\times\overrightarrow{z}= [\overrightarr... ...,\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}]\overrightarrow{a}$$

また

$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{x}\times\overrightarrow{u}&=& \overrightarro... ...,\ \overrightarrow{c}] (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) \end{eqnarray*}$$

この結果

$$\vert\overrightarrow{a}\vert=\vert\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\vert$$

つまり

$$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}$$

同様に

$$\mathrm{OB}=\mathrm{CA},\ \mathrm{OC}=\mathrm{AB}$$

となり，四面体$\mathrm{OABC}$は等面四面体である．□

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