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降下時間の積分表示

玉が原点から点 $ (x,\ y) $ に来るまで移動した距離を $ s $ とすると， \[ v=\dfrac{ds}{dt}=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}=\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx} \right)^2}\dfrac{dx}{dt} \] であるから， $ v=\sqrt{2gy} $ を代入して， \[ \dfrac{dt}{dx}=\dfrac{\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx} \right)^2}}{\sqrt{2gy}} \] したがって，原点から点 $ (a,\ h) $ に来るまでにかかる時間 $ T $ は定積分 \begin{eqnarray*} T&=&\int_0^Tdt=\int_0^a\dfrac{dt}{dx}dx\\ &=&\int_0^a\dfrac{\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx} \right)^2}}{\sqrt{2gy}}dx =\int_0^a\sqrt{\dfrac{1+{y'}^2}{2gy}}dx \end{eqnarray*} で与えられる．
ただし， $ x=0 $ のとき $ y=0 $ で，被積分関数 $ \sqrt{\dfrac{1+{y'}^2}{2gy}} $ は $ x=0 $ では定義されない． この積分の意味は \[ \lim_{u \to +0}\int_u^a\sqrt{\dfrac{1+{y'}^2}{2gy}}dx \] とする．これについては 『 解析基礎 』−「 多次元微分 」などを参照のこと．

この $ T $ は曲線 $ C $ が変われば変わる． $ T $ は曲線 $ C $ の関数であり， $ T(C) $ と書かねばならない．

史織　$ T(C) $ を最小にする曲線 $ C $ を決定せよ．これが，最速降下曲線問題ですね．

南海　そうだ．そのためにはもうひとつ段階を踏まなければならない．