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倍角公式から得られる代数方程式

$n$倍角の公式のある表現

ド・モアブルの定理

$$\cos n \theta+i\sin n\theta=(\cos \theta+i\sin\theta)^n$$

の右辺を二項定理で展開し，両辺の虚数部分をとる．

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^n =\sum_{l=0}^n{}_n\mathrm{C}_l\cos^{n-l}\theta(i\sin \theta)^l$$

と展開されるので

$$\begin{eqnarray*} i\sin n\theta&=& {}_n\mathrm{C}_1\cos^{n-l} \theta(i\sin \th... ...theta+ {}_n\mathrm{C}_5\cos^{n-5} \theta\sin^5 \theta+\cdots\} \end{eqnarray*}$$

である．全体を$\sin^n \theta$でくくる． $\cot\theta =\dfrac{1}{\tan\theta} =\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$を用いて

$$\sin n\theta= \sin^n \theta({}_n\mathrm{C}_1\cot^{n-1} \th... ...C}_3\cot^{n-3}\theta+{}_n\mathrm{C}_5\cot^{n-5}\theta+\cdots)$$

となる．これは正弦の$n$倍角の公式の$\cot$による表現である． $n=2m+1$として終項まで書く．

$$\begin{eqnarray*} &&\sin (2m+1)\theta\\ &=& \sin^{2m+1} \theta\left\{{}_{2m+... ...ta+{}_{2m+1}\mathrm{C}_5\cot^{2m-4}\theta+\cdots+(-1)^m\right\} \end{eqnarray*}$$

方程式の根

$\theta$に $\theta=\dfrac{k\pi}{2m+1}\ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ m)$を代入する． この$\theta$の値に対して $\sin(2m+1)\theta$は0で，$\sin \theta$は0でない． よってこれらの$\theta$の値に関して

$${}_{2m+1}\mathrm{C}_1\cot^{2m}\theta- {}_{2m+1}\mathrm{C}_... ...ta+ {}_{2m+1}\mathrm{C}_5\cot^{2m-4}\theta+\cdots+(-1)^m =0$$

が成り立つ． つまり $\alpha_k=\cot^2\dfrac{k\pi}{2m+1}\ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ m)$ は、$m$次方程式

$${}_{2m+1}\mathrm{C}_1t^m-{}_{2m+1}\mathrm{C}_3t^{m-1}+{}_{2m+1}\mathrm{C}_5t^{m-2}+\cdots+(-1)^m =0$$

の$m$個の相異なる根である．

根と係数の関係

$\alpha_k\ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ m)$ の$i$次の基本対称式を $\sigma_i\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ m)$とする． 根と係数の関係式から

$$\begin{eqnarray*} \sigma_1&=&-\dfrac{-{}_{2m+1}\mathrm{C}_3}{{}_{2m+1}\mathrm{C... ...1}\\ \cdots&&\\ \sigma_m&=&\dfrac{1}{{}_{2m+1}\mathrm{C}_1} \end{eqnarray*}$$

基本対称式の係数

$i$に対して$m$を十分大きくとると

$$\sigma_i=\dfrac{2m(2m-1)\cdots(2m-2i+1)}{(2i+1)!} =\dfrac{2^{2i}}{(2i+1)!}m^{2i}+\cdots$$

となり，$\sigma_i$は$m$の$2i$次多項式で，最高次の係数は $\dfrac{2^{2i}}{(2i+1)!}$である．

根のべき乗和

さらに， $\alpha_k\ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ m)$ の$l$乗和を$s_l$とする． $$s_l=\sum_{k=1}^m{\alpha_k}^l$$である．

補題 1        $l$が与えられた自然数，それに対して$m$を$l<m$にとる．

$$s_l=\sigma_1s_{l-1}-\sigma_2s_{l-2}-\cdots+(-1)^{l-2}\sigma_{l-1}s_1+l(-1)^{l-1}\sigma_l$$

が成り立つ． ■

証明      自然数$a$と$c\ (c\ge 2)$に対して$u(a,\ c)$を， $\alpha_k\ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ m)$の異なる$a$個の積で， そのうち$a-1$個は一乗，一つが$c$乗であるもの全体の和とする．例えば

$$u(3,\ 2)=\alpha_1\alpha_2(\alpha_3)^2+\cdots =\sum_{異なるp,q,r}\alpha_p\alpha_q(\alpha_r)^2$$

である． $u(a,\ c)$はそれ自身 $\alpha_k\ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ m)$の対称式である．以下,和は異なる添え字にわたるものとする． また，$s_l=u(1,\ l)$である．

$c\ge3$のとき

$$\begin{eqnarray*} u(a,\ c)&=&\sum_{p_1,\cdots,p_a}\alpha_{p_1}\cdots\alpha_{p_{... ..._a}(\alpha_{p_{a+1}})^{c-1}\\ &=&\sigma_as_{c-1}-u(a+1,\ c-1) \end{eqnarray*}$$

また

$$\begin{eqnarray*} u(a,\ 2)&=&\sum_{p_1,\cdots,p_a}\alpha_{p_1}\cdots\alpha_{p_{... ...,p_a}\alpha_{p_1}\cdots\alpha_{p_{a-1}}\alpha_{p_a}\alpha_{p_a} \end{eqnarray*}$$

であるが，

$$\sum_{p_1,\cdots,p_a}\alpha_{p_1}\cdots\alpha_{p_{a-1}}\alpha_{p_a}\sum\alpha_p$$

の展開のなかで，異なる$a+1$個の積になるものが，そのうちいずれを $$\sum\alpha_p$$からとるかの場合の数，つまり$a+1$個ずつ現れる． ゆえに

$$u(a,\ 2)=\sigma_as_1-(a+1)\sigma_{a+1}$$

$a=1,\ 2,\ \cdots,\ l-1$にわたって順次代入することにより

$$\begin{eqnarray*} s_l&=&u(1,\ l)=\sigma_1s_{l-1}-u(2,\ l-1)\\ &=&\sigma_1s_{l... ...a_2s_{l-2}+\cdots+(-1)^{l-2}\sigma_{l-1}s_1+l(-1)^{l-1}\sigma_l \end{eqnarray*}$$

を得る． □

     本補題そのものは， $\alpha_k\ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ m)$ が根である必要はなく，一般の文字で成立する． $l=3$のときは

$$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-(xy+yz+zx)(x+y+z)+3xyz$$

という等式である．

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