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係数定理

以上の準備のもとで以下の定理を示す．

定理 1        $l$を自然数とする．$l$に対して自然数$m$を十分大きくとる． $s_l=\displaystyle \sum_{k=1}^m{\alpha_k}^l$は $m$の$2l$次多項式であり，最高次の係数$A_{2l}$は

$$A_{2l}=\dfrac{2^{4l-1}}{(2l)!}(-1)^{l-1}B_{2l}$$

である． ■

証明      数学的帰納法で示す．

$l=1$のとき． $s_1=\sigma_1=\dfrac{2m(2m-1)}{6}=\dfrac{2^2}{6}m^2+\cdots$である． ここで，

$$\dfrac{2^3}{2!}B_2=\dfrac{4}{6}$$

なので成立している．

定理の命題が $1,\ 2,\ \cdots,\ l-1$で成立しているとする．

補題1の項 $\sigma_is_{l-i}$，$\sigma_l$において， $\sigma_i$は$m$の$2i$次多項式であり， $s_{l-i}$は$m$の$2(l-i)$次多項式であるから， $\sigma_is_{l-i}$は$m$の$2l$次多項式である．

帰納法の仮定から

$$s_l=\sigma_1s_{l-1}-\sigma_2s_{l-2}-\cdots+(-1)^{l-2}\sigma_{l-1}s_1+l(-1)^{l-1}\sigma_l$$

の$m$の$2l$次の係数$A_{2l}$は

$$A_{2l}=\sum_{i=1}^{l-1}\dfrac{(-1)^{i-1}2^{2i}}{(2i+1)!}\cd... ...^{l-i-1}B_{2l-2i}}{(2l-2i)!} -\dfrac{l(-1)^l2^{2l}}{(2l+1)!}$$

となる．これを変形整理する． $\dfrac{(2l+1)!}{(2i+1)!(2l-2i)!}={}_{2l+1} \mathrm{C}_{2l-2i}$より

$$A_{2l}=\dfrac{(-1)^l2^{4l-1}}{(2l+1)!} \left\{\sum_{i=1}^{... ...i}\left(\dfrac{1}{2} \right)^{2i}-\dfrac{2l}{2^{2l}} \right\}$$

$2l-2i=2j$とおくと

$$A_{2l}=\dfrac{(-1)^l2^{4l-1}}{(2l+1)!} \left\{\sum_{j=1}^{... ...left(\dfrac{1}{2} \right)^{2l-2j}-\dfrac{2l}{2^{2l}} \right\}$$

$j=0$のときの項 ${}_{2l+1} \mathrm{C}_0B_0\left(\dfrac{1}{2} \right)^{2l}=\dfrac{1}{2^{2l}}$ と $j=2l$のときの項 ${}_{2l+1} \mathrm{C}_{2l}B_{2l}=(2l+1)B_{2l}$を加減して

$$A_{2l}=\dfrac{(-1)^l2^{4l-1}}{(2l+1)!} \left\{\sum_{j=0}^{... ...right)^{2l-2j} -(2l+1)B_{2l} -\dfrac{2l+1}{2^{2l}} \right\}$$

3以上の奇数$k$に対して$B_k=0$で上記の形式の和で項$B_1$に対応するのは

$$-{}_{2l+1} \mathrm{C}_1B_1\left(\dfrac{1}{2} \right)^{2l-1} =-\dfrac{2l+1}{2^{2l+1}}$$

である．よってこれらの項を加減し，和を2でくくると

$$A_{2l}=\dfrac{(-1)^l2^{4l-1}}{(2l+1)!} \left\{2\sum_{k=0}^... ...k}\left(\dfrac{1}{2} \right)^{2l+1-k}-(2l+1)B_{2l}\right\}\\$$

を得る．$B_n(x)$の定義から

$$\sum_{k=0}^{2l+1}(-1)^k{}_{2l+1} \mathrm{C}_{k}\cdot B_{k}x^{2l+1-k}=B_{2l+1}(x)$$

である．よって

$$A_{2l}=\dfrac{(-1)^l2^{4l-1}}{(2l+1)!} \left\{2B_{2l+1}\left(\dfrac{1}{2} \right)-(2l+1)B_{2l}\right\}$$

である．命題3の3.より

$$B_{2l+1}\left(\dfrac{1}{2}\right)=(-1)^{2l+1}B_{2l+1}\left(\dfrac{1}{2}\right)$$

なので $B_{2l+1}\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$である． この結果

$$A_{2l}=\dfrac{(-1)^l2^{4l-1}}{(2l+1)!}\{-(2l+1)B_{2l}\} =\dfrac{2^{4l-1}}{(2l)!}(-1)^{l-1}B_{2l}$$

となる． 定理の命題は$l$のときにも成立し，すべての自然数$l$に対して成立する． □