上: ζを関・ベルヌーイ数で表す 前: 係数定理

ζ$(2l)$を関・ベルヌーイ数で表す

数$s$に対して

$$\zeta(s)=1+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\dfrac{1}{4^s}+\cdots$$

を「ゼータ関数」という． 実数$s$が$s>1$にあればこの級数は収束する．

定理 2        $l$が与えられたとき，

$$\zeta(2l)=\dfrac{2^{2l-1}(-1)^{l-1}B_{2l}}{(2l)!}\pi^{2l}$$

ここに$B_n$は関・ベルヌーイ数である． ■

証明      $l$に対して自然数$m$を十分大きくとる． $0<x<\dfrac{\pi}{2}$とする．このとき

$$\sin x<x<\tan x$$

が成り立つ．各項は正なので

$$\sin^2 x<x^2<\tan^2 x$$

である．逆数をとって

$$\dfrac{1}{\sin^2 x}=1+\cot ^2x>\dfrac{1}{x^2}>\cot^2 x$$

となる．よって

$$(1+\cot^2 x)^l>\dfrac{1}{x^{2l}}>(\cot^2 x )^l$$

である．ここに $x=\dfrac{k\pi}{2m+1}$を代入し $k=1,\ 2,\ \cdots,\ m$にわたって加える． $\cot^2\left(\dfrac{k\pi}{2m+1} \right)=\alpha_k$とおいたので

$$\sum_{k=1}^m(1+\alpha_k)^l> \sum_{k=1}^m\dfrac{(2m+1)^{2l}}{k^{2l}\pi^{2l}} >\sum_{k=1}^m{\alpha_k}^l$$

定理1によって $$\sum_{k=1}^m(1+\alpha_k)^l$$ と $$\sum_{k=1}^m{\alpha_k}^l$$ は$m$の多項式であり，いずれも

$$\dfrac{2^{4l-1}}{(2l)!}(-1)^{l-1}B_{2l}m^{2l}+\cdots$$

と表される．ただし$\cdots$は次数$2l$より低位の項を表す． この結果，

$$\begin{eqnarray*} \dfrac{\pi^{2l}}{(2m+1)^{2l}}\left\{\dfrac{2^{4l-1}}{(2l)!}(-... ...t\{\dfrac{2^{4l-1}}{(2l)!}(-1)^{l-1}B_{2l}m^{2l}+\cdots\right\} \end{eqnarray*}$$

$m\to \infty$のとき，両辺は $\dfrac{2^{2l-1}}{(2l)!}(-1)^{l-1}B_{2l}\pi^{2l}$ に収束する．つまり定理が示された． □
なお，

$$\zeta(2l)=1+\dfrac{1}{2^{2l}}+\dfrac{1}{3^{2l}}+\dfrac{1}{4^{2l}}+\cdots>0$$

なので，

$$\dfrac{2^{2l-1}(-1)^{l-1}B_{2l}}{(2l)!}\pi^{2l}>0$$

である．よって$l\ge 1$のとき

$$(-1)^{l-1}B_{2l}>0$$

つまり，関・ベルヌーイ数は，第2項$B_2$以降の偶数項は正負をくりかえすことも示された．

例 0.1.2   例0.1.1を用いると次の値が得られる．

$$\begin{eqnarray*} \zeta(2)&=&\dfrac{2}{2!} B_{2}\pi^2=\dfrac{\pi^2}{6}\\ \zet... ...ac{2^11}{12!}(-B_{12})\pi^{12} =\dfrac{691\pi^{12}}{638512875} \end{eqnarray*}$$