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無限級数

級数の定義

数列$\{a_n\}$に対して $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$を $$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^na_k$$ の略記とし，収束するときもしないときにも用いる． この無限和を級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$という． $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$が収束するとは， 部分和 $$s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$$ によって定まる数列$\{s_n\}$が収束することであると定める．その極限値$s$を級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$の和といい， $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=s$$と表す． 収束しないとき，級数は発散するという． 級数が収束すれば

$$\lim_{n \to \infty}a_n= \lim_{n \to \infty}(s_n-s_{n-1})=s-s=0$$

であるが，逆は成立しない．

定理 21       級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$が収束するための 必要十分条件は， 任意の正数$\epsilon$に対し番号$N$で，$N\le m<l$ならば

$$\left\vert a_m+a_{m+1}+\cdots+a_l \right\vert<\epsilon$$

となるものが存在することである． ■

証明    

$$\left\vert s_l-s_{m-1} \right\vert =\left\vert a_m+a_{m+1}+\cdots+a_l \right\vert$$

なので， 本定理の条件を満たす$N$の存在は 数列$\{s_n\}$が基本数列である条件である． したがって，基本数列に関する定理13と級数の収束の定義から， この条件が級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$が収束するための 必要十分条件である． □

級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$の各項の絶対値を項とする級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}\left\vert a_n \right\vert$$ が収束するとき， 級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$は 絶対収束するという．

定理 22       級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$は， それが絶対収束すれば収束し，和については不等式

$$\left\vert\sum_{n=1}^{\infty}a_n \right\vert\le \sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert$$

が成り立つ． ■

証明    

$$\left\vert a_m+a_{m+1}+\cdots+a_l \right\vert\le \left\ver... ...eft\vert a_{m+1}\right\vert+\cdots+\left\vert a_l \right\vert$$

である． 数列 $$\left\{\sum_{k=1}^n\vert a_k\vert\right\}$$が基本数列なので， 任意の正数$\epsilon$に対し$N$で，$N\le l,\ m-1$のとき

$$\left\vert a_m\right\vert+\left\vert a_{m+1}\right\vert+\cdots+\left\vert a_l \right\vert<\epsilon$$

となるものが存在する． よって定理21から $$\left\{\sum_{k=1}^na_k\right\}$$も基本数列となり， $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$は収束する． 極限値の不等式は部分和の不等式

$$\left\vert\sum_{n=1}^{N}a_n \right\vert\le \sum_{n=1}^{N}\vert a_n\vert$$

からただちに従う． □

系 22.1       正項級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}M_n$$が収束し， 級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$ の項について

$$\left\vert a_n \right\vert\le M_n\quad (n\in \mathbb{N})$$

が成立すれば，級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$は絶対収束し， 和について

$$\left\vert\sum_{n=1}^{\infty}a_n \right\vert \le \sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert \le \sum_{n=1}^{\infty}M_n$$

が成り立つ． ■

証明    

$$\begin{eqnarray*} \left\vert a_m+a_{m+1}+\cdots+a_l \right\vert&\le& \left\ver... ...dots+\left\vert a_l \right\vert\\ &\le&M_m+M_{m+1}+\cdots+M_l \end{eqnarray*}$$

なので，定理21と絶対収束の定義から従う． □

系 22.2 (ダランベールの判定法)       正項級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$について

1. $\exists N$， $\left\vert\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert\le r <1 \ (n\ge N)$ならば $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$は絶対収束する．
2. $\exists N$， $\left\vert\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert\ge 1 \ (n\ge N)$ならば $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$は収束しない． ■

証明    
(1)    このとき，$n\ge N+1$ならば

$$\left\vert a_n \right\vert \le r\left\vert a_{n-1} \right\... ...ight\vert\le \cdots \le r^{n-N}\left\vert a_{N} \right\vert$$

となり， $0<r<1$なので系22.1から級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$は絶対収束する．
(2)    このとき，$n\ge N+1$ならば

$$\left\vert a_n \right\vert \ge \left\vert a_{n-1} \right\v... ...} \right\vert\ge \cdots \ge \left\vert a_{N} \right\vert>0$$

となり， $$\lim_{n \to \infty}a_n\ne 0$$なので収束しない． □

定理 23       単調に減少し0に収束する正項数列$\{a_n\}$に対し， 項の符号を交互に変えて作った級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$$は収束する． ■

証明     部分和

$$s_{2n-1}=\sum_{k=1}^{2n-1}(-1)^{k-1}a_k,\ s_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1}a_k$$

をとると，

$$\begin{eqnarray*} &&s_{2n-1}-s_{2n}=-(-1)^{2n-1}a_{2n}=a_{2n}>0\\ &&s_{2n+1}-... ...n}=(-1)^{2n+1}a_{2n+2}+(-1)^{2n}a_{2n+1} =-a_{2n+2}+a_{2n+1}>0 \end{eqnarray*}$$

となるので，

$$s_1>s_3>\cdots>s_{2n-1}>\cdots>s_{2n}>\cdots>s_4>s_2$$

が成り立つ．つまり 区間 $I_n=[s_{2n},\ s_{2n-1}]$は縮小区間列である． そして

$$\lim_{n \to \infty}(s_{2n-1}-s_{2n})=\lim_{n \to \infty}a_{2n}=0$$

であるから，区間縮小法の原理(定理18)によって 2つの数列 $\{s_{2n-1}\},\ \{s_{2n}\}$は同じ極限値に収束する． よって数列$\{s_n\}$も同じ値に収束し， $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$$は収束する． □

定理23のように符号が交互に変わる級数を交代級数という．

定理 24       二つの級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$と $$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$$がともに絶対収束するならば， 二つの級数 $$\sum_{n=0}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)$$，
$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{i=0}^na_ib_{n-i} \right)$$ はともに絶対収束し，

$$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)&=& \alpha\sum_{n=0... ...sum_{n=0}^{\infty}a_n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_n\right) \end{eqnarray*}$$

である． ■

証明     一次結合に関する部分は

$$\left\vert\alpha a_n+\beta b_n \right\vert\le \left\vert\... ...ht\vert+\left\vert\beta\right\vert \left\vert b_n \right\vert$$

から絶対収束性が示され，部分和に関する等式

$$\sum_{n=0}^N(\alpha a_n+\beta b_n)= \alpha\sum_{n=0}^Na_n+\beta\sum_{n=0}^Nb_n$$

より従う． 積に関する部分はやや複雑である．この証明は割愛する． □

例 3.1       級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p}$$の収束性．

$p=1$のとき：発散する．

この証明は定積分による評価

$$\sum_{n=1}^N\dfrac{1}{n}>\int_1^{N+1}\dfrac{1}{x}\,dx=\log(N+1)$$

からわかる．積分を用いないなら次のように部分和を評価する．

$$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{n+n}> \dfra... ...ac{1}{n+n}+\cdots+\dfrac{1}{n+n}> \dfrac{n}{2n}=\dfrac{1}{2}$$

したがって級数が収束するための必要十分条件を定めた定理21 において，$\dfrac{1}{2}$より小さく$\epsilon$をとると， $N$をどのようにとっても$m=N+1,\ l=2N$とすると

$$\left\vert\dfrac{1}{m}+\cdots+\dfrac{1}{l} \right\vert>\dfrac{1}{2}>\epsilon$$

となり，定理21の条件を満たさない．よって発散する．

$p<1$のとき：発散する．

$\dfrac{1}{n^p}\ge\dfrac{1}{n}$なので， $p=1$のとき発散することから結論される．

$1<p$のとき：収束する．

$r=\dfrac{1}{2^{p-1}}$とおき，次のような級数の部分和をとる． $0<r<1$である．

$$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{2^m-1}\dfrac{1}{n^p}&=& \sum_{k=1}^{m}\left(\sum... ...ight)= \sum_{k=1}^{m}r^{k-1}=\dfrac{1-r^m}{1-r}<\dfrac{1}{1-r} \end{eqnarray*}$$

級数は正項級数なので部分和は単調増加である． かつこのように有界であることが示された．つまり収束する．

$p$が偶数のときは比較的容易に級数の値を計算することができる． これについては 『数学対話』−「円周率を表す」−「ゼータ関数の値」を参照のこと．

例 3.2       交代級数の例．

1. 
   
   $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{2n-1}= 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots$$
   
   
   この級数は交代級数であるから収束する． 極限値は $\dfrac{\pi}{4}$である． その証明は後に示す二つの定理を必要とする．

   $\vert x\vert<1$において次式右辺の無限等比級数は左辺に収束する．
   

   $$\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+\cdots$$
   
   
   巾級数と積分に関する定理57によってこの範囲において 両辺積分し，積分定数をあわせて
   
   $$\mathrm{Tan}^{-1}x=x-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{5}x^5-\dfrac{1}{7}x^7+\cdots$$
   
   
   である．ところが$x=1$のとき 右辺が交代級数で収束するので，アーベルの定理45によって この値が $$\lim_{x \to 1}\mathrm{Tan}^{-1}x=\dfrac{\pi}{4}$$となるのである．

2. 同様に
   
   $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}= 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots =\log 2$$
   
   
   である．これは$\vert x\vert<1$において
   
   $$\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-\cdots$$
   
   
   を積分することで同じ議論によって得られる．

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