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諸定義とその関係

二次曲面の極系による定義

$P^n$の係数体はこれまでと同様に可換とし，さらにその標数は2でないとする．必要に応じて$K$は代数的閉体とするが，それはそれを必要とするところで指示する．以下$n$次元射影空間における$n-1$次曲面を考えるので，超平面にならえば「超曲面」というべきところであるが，高次の場合も含めて「曲面」で統一する．

定義 29 (極系による定義)        $n$次元射影空間$P$からその双対空間$P^*$への射影写像$\tau$が極系であるとする． $P$の点$p$に対し$\tau(p)$は$P^*$の点であり 双対対応によって$P$の超平面に対応する． $P$の点集合

$$Q_2^{n-1}=\{p\ \vert\ 点 p(\in P)が\tau(p)で定まる超平面に含まれる．\}$$

を，極系$\tau$で定まる二次曲面という． ■

射影空間$P$で枠$\mathscr{F}$を選び座標系$(x)=(x_i)$が定まっているとする． この座標系に関して$\tau$は$n+1$次の対称行列の類で表される． 行列はこの類の代表であると考える．つまり行列$T$は$n+1$次正方行列を0でない定数倍の同値関係で類別した類の要素を表すものとする． $p$の座標を$(\xi)$とする． これは縦ベクトルであった． $\tau(p)$は$P^*$の座標で行列との積$T(\xi)$になる． これが$P$の超平面

$${}^t(x)T(\xi)=0$$

を定める．二次曲面の定義を座標系でいえば， 点$(\xi)$が$\tau$で定まる二次曲面の点であることは， $(\xi)$が再びこの方程式を満たすということである． つまり

$${}^t(\xi)T(\xi)=0$$

を満たす点の集合が$Q_2^{n-1}$である．

射影写像は一対一対応であり，その行列$T$の階数は$n+1$である． ここの部分を一般化し，一般の対称行列によって 二次曲面を定義することができる．

定義 30 (対称行列による定義)        $P^n$の座標系$(x)$がある． $T$を必ずしも階数が$n+1$とはかぎらない対称行列とする． 座標系の方程式

$${}^t(x)T(x)=0\quad \iff\quad \sum_{i,j=0}^n\alpha_{ij}x_ix_j=0$$

を満たす$P^n$の点の集合を二次曲面といい$Q_2^{n-1}$と表す． ■

これは先の曲系による定義29を含む． つまり$T$の階数が$n+1$なら同等の定義である．

今後，この一般化された定義を$Q_2^{n-1}$の定義とする． 線型代数の一般論から， 対称行列$T$に対して${}^tPTP$が対角行列となるような 可逆行列$P$が存在する． この証明は『線型代数の考え方』など参照のこと． これからただちに次のことが結論される．

命題 75        $n$次元射影空間におかれた二次曲面は， 座標系をつまりは枠を適当に選ぶことによって

$$\sum_{i=0}^sd_{i}{x_i}^2=0\ (s\le n)$$

と表される． ■

系 75.1        $K$が代数的閉体なら

$$\sum_{i=0}^s{x_i}^2=0\ (s\le n)$$

に帰着する．$K$が実数体なら

$$\sum_{i=0}^t{x_i}^2-\sum_{i=t+1}^s{x_i}^2=0 \ (0\le t\le s\le n)$$

に帰着する． ■

$s$は行列$T$の階数である．$s=n+1$のとき二次曲面は正則であるという． あるいはまた非退化であるという．

$s<n+1$のときは非正則，あるいは退化であるという． このとき$K^{n+1}$の要素で $T(\mathrm{\bf x})=(0)$となるものは， $K^{n+1}$の部分空間をなす． このときこれに対応して， $P^n$の部分空間でその要素$(x)$が$T(x)=0$となるものが存在する． これを二次曲面の特異空間，その要素を特異点という．

二次曲線で特異点の集合が直線であれば その方程式は因数分解される． 逆に因数分解されれば2直線となる．

例 4.1.1        $K=\mathbb{R}$の$P^2$において $T= \left( \begin{array}{ccc} 1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&-1 \end{array} \right)$とおく．$T$の階数は2である． このとき同次座標で$Q_2^1$の方程式は

$${x_0}^2+{x_1}^2+2x_0x_1-{x_2}^2= (x_0+x_1+x_2)(x_0+x_1-x_2)=0$$

と因数分解される．したがって$Q_2^1$は2直線を表す．

注意 4.1.1   代数幾何学においては，曲線の特異点が定義される． 特異点をもたない曲線を滑らか，あるいは非特異という． 2次曲線においては，非退化であることと非特異であることが同値である． この証明などは，『Poncelet's Theorem』[40]の定理3.2 を参照のこと．

極と極超平面

射影空間$P^n$からその双対空間$P^*$への射影写像$\tau$が極系であるとき， $P^n$の点$p$に対して$\tau(p)$は$P^*$の点であり$P$の超平面を定める．$p$によって定まる$P$の超平面を$p$の極超平面といい同じ$\tau(p)$で表す．$n=2$の場合は極線という．逆に$P^*$の要素である$P$の超平面$p^*$に対して$\tau_*(p^*)$は$P$の点である．これを$P$の超平面$p^*$の極という．

$P^n$の点$p$とその双対空間の点， すなわち$P$の超平面$\tau(p)$の上にある点$q$は $Q_2^{n-1}$に関し共役であるという． それぞれの座標を$(\xi)$と$(\nu)$とする． $p$が$q$と共役なら ${}^t(\nu)T(\xi)=0$である． $\tau$に対応する行列は対称なのでこれは ${}^t(\xi)T(\nu)=0$と同値である． よって$p$が$q$と共役なら $q$が$p$と共役である．

接超平面

二次曲面$Q_2^{n-1}$上の点$p=(\xi)$は ${}^t(\xi)T(\xi)=0$を満たすので，それ自身に共役，つまり自己共役である． $\tau(p)$が定める超平面を点$p$における$Q_2^{n-1}$の接超平面という． $n=2$のときは接線という．

命題 76        射影写像$\tau$を極系としそれが定める二次曲線を$Q_2^{n-1}$とする． $P^n$の直線$l$がある． $l$上の点で$Q_2^{n-1}$上にはない点$p$に対して， 超平面$\tau(p)$と直線$l$の交点を$q$とする． 点対$(p,\ q)$は， $l$によって決まり$p$のとり方によらない一定の対合によって対合をなす． 　■

証明      $P$と$P^*$に座標系を定め，それによって$\tau$が定める行列を$T$とする． 定義28より$T$は対称行列である． 直線$l$上の2定点$(a)$と$(b)$をとり， $l$を媒介変数$\lambda$と$\mu$を用いて $\lambda(a)+\mu(b)$と表す． $(\lambda,\ \mu)$を直線$l$の同次座標とする．

$$p=\lambda_p(a)+\mu_p(b),\ q=\lambda_q(a)+\mu_q(b)$$

であるとする．$q$は$\tau(p)$上の点なので

$${}^t\{\lambda_q(a)+\mu_q(b)\}T\{\lambda_p(a)+\mu_p(b)\}=0$$

である．$T$が対称なので ${}^t(a)T(b)={}^t(b)T(a)$． よってこの等式は

$$\lambda_p\lambda_q{}^t(a)T(a) +(\lambda_p\mu_q+\lambda_q\mu_p){}^t(a)T(b) +\mu_p\mu_q{}^t(b)T(b)=0$$ (4.1)

となる． これは命題71の等式そのものであり， その係数 ${}^t(a)T(a),\ {}^t(a)T(b),\ {}^t(b)T(b)$は$p$と$q$によらない． よって条件を満たす$l$上の2点$p,\ q$は同一の対合で対合をなす． □

定理 9        極系$\tau$とそれによって定まる二次曲面$Q_2^{n-1}$が与えられている． 2点$p,\ q$は相異なる共役点であるとする．

(i)

$p,\ q\not \in Q_2^{n-1}$のとき． 直線$p\vee q$と$Q_2^{n-1}$の交点を$z_1,\ z_2$とする． 4点 $p,\ q;\ z_1,\ z_2$は調和列点をなす．

(ii)

$p\in Q_2^{n-1},\ q\not \in Q_2^{n-1}$のとき． 直線$p\vee q$と$Q_2^{n-1}$は点$p$のみ共有する．

(iii)

$p,\ q\in Q_2^{n-1}$のとき． 直線$p\vee q$は$Q_2^{n-1}$に含まれる．

逆に　(i)，(ii)，(iii)のいずれかが成り立てば， $p$と$q$は$Q_2^{n-1}$に関し共役である． ■

証明
(i)     命題76の直線$p\vee q$を$l$とし，定点$(a),\ (b)$として 2点$z_1,\ z_2$をとる．これによって点$p$と$q$は対合をなす． さらに方程式4.1は

$$(\lambda_p\mu_q+\lambda_q\mu_p){}^t(z_1)T(z_2)=0$$

となる．この方程式は $(\lambda_p,\ \lambda_q,\ \mu_p,\ \mu_q)$を $(1,\ 1,\ 0,\ 0)$か $(0,\ 0,\ 1,\ 1)$にとっても成り立ち， この対合に関して$z_1,\ z_2$は自己対合をなすことがわかる． 命題73より$z_1,\ z_2$は$p,\ q$を調和に分ける． つまり4点 $p,\ q;\ z_1,\ z_2$は調和列点をなす．
(ii)     点$p$は自己対合点である． $p=(p)$，$q=(q)$とし$p\vee q$上の点$(x)$を

$$(x)=\lambda(p)+\mu(q)$$

とおく．これが$Q_2^{n-1}$上にあるのは

$${}^t\{\lambda(p)+\mu(q)\}T\{\lambda(p)+\mu(q)\}=0$$

を満たすことであるが， ${}^t(p)T(p)=0$かつ${}^t(p)T(q)=0$なので これを満たすのは$\mu=0$のみである． つまり直線$p\vee q$と$Q_2^{n-1}$は点$p$のみ共有する．
(iii)     同様に$p$と$q$の座標を$(p)$，$(q)$とし， 直線$p\vee q$上の点$(x)$を座標系で $\lambda(p)+\mu (q)$とする．

$${}^t(p)T(p)=0,\ {}^t(q)T(q)=0,\ {}^t(p)T(q)={}^t(q)T(p)=0$$

より

$${}^t\{\lambda(p)+\mu(q)\}T\{\lambda(p)+\mu(q)\}=0$$

なので，直線$p\vee q$は$Q_2^{n-1}$に含まれる．

逆について．(i)は命題73によって$p$と$q$は対合をなし， 命題76によって$q$が$p$と共役なら対合をなすが， 直線上の点で$p$とその対合で対合をなす点は一意なので， $p$と$q$は共役である．他は明らか． □

例 4.1.2        上記定理の(i)は，ユークリッド平面では

$$\dfrac{2}{\mathrm{PQ}}=\dfrac{1}{\mathrm{PA}}+\dfrac{1}{\mathrm{PB}}$$

とも定式化される．

二次曲面の部分空間

$Q_2^{n-1}$に含まれる部分空間を母空間，1次元直線の場合母線 という．

実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表すものとする．

命題 77        複素数体$\mathbb{C}$上の正則二次曲面$Q_2^{n-1}$は $\left[\dfrac{n-1}{2} \right]$次元部分空間を含む． ■

証明     系75.1から$Q_2^{n-1}$は適当な座標系によって

$$\sum_{i=0}^n{x_i}^2=0$$

と表される．

$n$が奇数のとき．$n=2m+1$とおく．$i$を虚数単位として

$$\sum_{i=0}^{2m+1}{x_i}^2 = \sum_{j=0}^{m}(x_{2j}+ix_{2j+1})(x_{2j}-ix_{2j+1})$$

であるから，$m+1$個の方程式

$$x_{2i}-ix_{2i+1}=0,\ (i=0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ m)$$

で定義される部分空間$R$は$Q_2^{n-1}$に含まれる． $R$の次元は

$$2m+1-(m+1)=m=\dfrac{n-1}{2}=\left[\dfrac{n-1}{2} \right]$$

である．

$n$が偶数のとき．$n=2m$とおく． 同様に

$$\sum_{i=0}^{2m}{x_i}^2 = \sum_{j=0}^{m-1}(x_{2i}+ix_{2i+1})(x_{2i}-ix_{2i+1}) +(x^{2m})^2$$

であるから，$m+1$個の方程式

$$x_{2i}-ix_{2i+1}=0,\ (i=0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ m-1),\ x^{2m}=0$$

で定義される部分空間$R$は$Q_2^{n-1}$に含まれる． $R$の次元は

$$2m-(m+1)=m-1=\dfrac{n}{2}-1=\left[\dfrac{n-1}{2} \right]$$

である． よっていずれの場合も命題は成立する． □

本定理は直線体$K$が代数的閉体であれば成り立つ．

古典的定義

線束の射影写像

$P^n$の相交わらない$n-2$次元部分空間$S,\ S'$をとる． $S,\ S'$を通る超平面の集合$L(S),\ L(S')$をとる． 定義14によってこれらは線型基本図形であり， その基本図形の間の射影写像の概念が有効である．

定義 31 (幾何的定義)        $P^n$の相交わらない$n-2$次元部分空間$S,\ S'$に対する超平面束 $L(S),\ L(S')$が射影的であるとき，つまり射影写像

$$\varphi:L(S)\to L(S')$$

が存在するとき，対応する超平面の共通部分空間の集合

$$R_2^{n-1}=\{l\cap \varphi(l)\ \vert\ l \in L(S)\}$$

を二次曲面という．■

諸定義の関係

$P$における$S$と$S'$は双対的に$P^*$の直線に対応し， $L(S),\ L(S')$はそれらの直線上の点の集合に対応する． $P$において$L(S)$と$L(S')$が射影的であるということと， $P^*$において双対的に対応する直線から直線への射影写像$\varphi$が存在することが同値である．

$n=2$の場合

$n=2$のとき，$S$と$S'$は異なる点$o,\ o'$であり， $L(o)$，$L(o')$はそれぞれ$o,\ o'$をとおる直線の集合である． これを母線束という. 定義30と定義31が同等であることは次のように示される．

命題 78        $n=2$のとき，定義30で定まる二次曲線を$Q$， 定義31で定まる曲線を$R$とする．

(I)

$Q$上の二定点$o,\ o'$をとる． $o,\ o'$での接線を$l,\ l'$とし， その超平面座標，すなわち$o$と$o'$の座標を$(a),\ (b)$とする． また点$p$での接線と$l,\ l'$との交点を$(\xi),\ (\nu)$とする． これが $o\vee p,\ o'\vee p$の超平面座標である． このとき $(\xi)\mapsto (\nu)$は射影写像である．

(II)

$R$に対し， 3次行列$T$で，それによる定義30の$Q$が$R$に一致するものが存在する． ■

証明

(I)     $l$と$l'$の交点の座標を$(c)$とすると

$${}^t(c)T(a)={}^t(c)T(b)={}^t(a)T(a)={}^t(b)T(b)=0$$

であり，媒介変数 $\lambda_0,\ \lambda_1$，$\mu_0,\ \mu_1$を用いて

$$(\xi)=\lambda_0 (c)+\lambda_1(a),\ (\nu)=\mu_0 (c)+\mu_1(b)$$

と表される．さらに直線 $(\xi)\vee (\nu)$上の点は 媒介変数$s,\ t$を用いて

$$s(\xi)+t(\nu)$$

と表される．これが$Q$と接しているので

$${}^t\{s(\xi)+t(\nu)\}T\{s(\xi)+t(\nu)\}=0\quad \iff \quad {}^t(\xi)T(\xi)s^2+2{}^t(\xi)T(\nu)st+{}^t(\nu)T(\nu)t^2=0$$

が同次二次方程式として重根をもつ． よって

$$\{{}^t(\xi)T(\nu)\}^2-\{{}^t(\xi)T(\xi)\}\{{}^t(\nu)T(\nu)\}=0$$

である．

$$\begin{eqnarray*} {}^t(\xi)T(\nu)&=&{}^t\{\lambda_0 (c)+\lambda_1(a)\}T\{\mu_0 ... ...mu_0 (c)+\mu_1(b)\}T\{\mu_0 (c)+\mu_1(b)\} ={}^t(c)T(c)\mu_0^2 \end{eqnarray*}$$

よって判別式の条件は

$${}^t(c)T(c)\cdot{}^t(a)T(b)\lambda_0\mu_0\lambda_1\mu_1 + \{{}^t(a)T(b)\}^2\lambda_1^2\mu_1^2=0$$

これから $\lambda_1\mu_1=0$つまり$p$が$o$か$o'$に一致するか， または

$${}^t(c)T(c)\cdot{}^t(a)T(b)\lambda_0\mu_0+ \{{}^t(a)T(b)\}^2\lambda_1\mu_1=0$$

これは変換行列が $\left( \begin{array}{cc} 0&\beta\\ \gamma&0 \end{array} \right)$ 型の射影写像である．

注意 4.1.2  
1)     この対応は明らかに$l$から$l'$への一対一対応である． かつ代数的に対応している． $K$が代数的閉体ならここから射影写像でしかありえないことがわかる． 閉体でない場合を含め示した．
2)    $o,\ o'$は二次曲線上の異なる2点であればつねに成りたつ．

(II)     $o,\ o'$の座標を$(a),\ (b)$とする．

$$\begin{eqnarray*} &&L(o)=\{(u)\ \vert\ {}^t(u)(a)=0 \}\\ &&L(o')=\{(v)\ \vert\ {}^t(v)(b)=0 \} \end{eqnarray*}$$

である．$\varphi$が行列$A$で表されるとする．つまり $(v)=A(u)$とする．$p$の座標を$(x)$とすると，

$${}^t(u)(x)=0,\ {}^t(v)(x)={}^t(u){}^tA(x)=0$$

$(u)$の成分には0でないものがあるので， 三つの縦ベクトル $(a),\ (x),\ {}^tA(x)$より構成される3次正方行列式について

$$\left\vert(a)(x){}^tA(x)\right\vert=0$$

が成り立つ．これを成分で書き表し整理すれば，

$$\sum \beta_{ij}x_ix_j=0$$

になる． $\alpha_{ii}=\beta_{ii}$， $i\ne j$のとき $\alpha_{ij}=\alpha_{ji}=\dfrac{1}{2}(\beta_{ij}+\beta_{ji})$ で$\alpha_{ij}$を定める． このとき $T=(\alpha_{ij})$で定まる対称行列$T$による二次曲線$Q$が$R$に一致する． □

注意 4.1.3        2次元の場合に3次行列よる定義と古典的定義の同等性が示された． 高次の場合についての二つの定義の関係は今後の研究課題とする．

退化二次曲線の図形的条件

命題 79        平面二次曲線が2直線に分解されることと， 幾何的定義における射影写像 $\varphi \ :\ L(o) \to L(o')$が配景写像であることは 同値である． ■

証明     射影写像$\varphi$が配景写像であるとする． 双対空間での配景の中心に対応する$P^2$の直線を$m$とする． 直線$l\in L(o)$と$l'\in L(o')$は$m$上の点で交わることを意味する． また$\varphi$によって直線$o\vee o'$はそれ自身にうつる． よって$Q$は$m$と$o\vee o'$それ自身である．

2直線に分解されるとする．$o$と$o'$は互いにうつるので， 2直線になればそのうちの1本は$o\vee o'$であり， 他方の直線の双対空間での点は配景の中心である． □

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