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2012.9／2011.2／2009.9

整数の基本

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整数の分野は高校の数学のなかでたいへん重要な分野である．数学の基礎であり，さまざまの論証の基礎であり，また長い歴史をもつ．これまで高校の教科書に「整数」という単元はおかれていなかった．ようやく2012年先行開始で数学Aに「整数の性質」がおかれ，基本的なことがらを習うことになった．また高校の参考書では「整数」などの節を設けているものが多いが，問題の解法という観点で書かれている．そのため，何が基本事項なのか，また何を根拠に示せばよいのかがたいへんわかりにくい．

そこで，高校整数論の骨子となる部分を，基本事項には証明もつけてまとめた．いろいろ考えながら読んでいくことができれば，それが力になる．整数問題において立ちかえるべき根拠となることがらをまとめた．基本事項をしっかりおさえたうえで，自由に考えることが整数問題ではとくに大切である．

高校範囲の整数問題には他にも，平方数の剰余，ペル方程式，格子点への応用など，まだまだ多くの分野がある．しかしそれらは，本書の基本のうえに，問題演習として取り組めばよい．一方，本書で取りあげた分野については，関連する大学入試問題を演習問題として紹介した．解答はそれだけで完結するようにした．内容的なつながりをよく考えながら解いてみてほしい．

以下では自然数，整数，有理数，実数,複素数の集合をそれぞれ $\mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R},\ \mathbb{C}$と書く．